AP Calculus BC

đường cong phẳngplane curve

plane curveVietnamese: đường cong phẳng

Đường cong phẳng (plane curve) là tập hợp các điểm trên mặt phẳng có hoành độ và tung độ đều là hàm của một tham số chạy trên một khoảng.A plane curve is the set of points in the plane whose x- and y-coordinates are both functions of a single parameter that varies over an interval.

Trực giác: Con kiến bò trên tờ giấy: tại mỗi thời điểm $t$ nó ở đúng một vị trí, và vệt đường nó đi qua chính là đường cong.Intuition: Picture an ant crawling across a sheet of paper: at each time $t$ it is at exactly one position, and the trail it leaves behind is the curve.

Công thức chínhKey formula

x=f(t),\quad y=g(t),\quad t\in I

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Đường cong phẳng là vệt do một điểm vạch ra trên mặt phẳng khi tham số $t$ chạy từ $a$ đến $b$ . Tọa độ điểm là $x=f(t)$ và $y=g(t)$ , với $f,g$ là hai hàm liên tục. Khi $t$ tăng, ta biết được hướng đi.

Với $x=\cos t,\ y=\sin t$ và $t$ từ $0$ đến $2\pi$ , điểm vạch đúng một vòng đường tròn đơn vị, vì $x^2+y^2=1$ . Với $x=\cos 2t,\ y=\sin 2t$ và cùng $t$ đó, điểm vẫn ở trên đường tròn ấy nhưng đi hai vòng. Vậy một hình có thể có nhiều cách tham số hóa.

A plane curve is the path traced by a point in the plane as the parameter $t$ runs from $a$ to $b$ . The point's coordinates are $x=f(t)$ and $y=g(t)$ , where $f$ and $g$ are continuous functions. As $t$ increases, the point moves in a definite direction.

For $x=\cos t,\ y=\sin t$ with $t$ from $0$ to $2\pi$ , the point traces the unit circle exactly once, since $x^2+y^2=1$ . For $x=\cos 2t,\ y=\sin 2t$ over the same interval of $t$ , the point stays on the same circle but goes around twice. So one shape can have many different parametrizations.

Ký hiệuNotation

• $x=f(t),\ y=g(t)$ với $a\le t\le b$
•điểm đầu $(f(a),g(a))$ , điểm cuối $(f(b),g(b))$
• $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/dt}{dx/dt}$ .

Giải nghĩa công thứcFormula breakdown1 công thức1 formula

\htmlClass{fp-0}{x=f(t)},\quad \htmlClass{fp-1}{y=g(t)},\quad \htmlClass{fp-2}{t\in I}

Dùng khi đường cong không tiện viết $y$ theo $x$ ; $t$ tăng cho biết hướng đi và tốc độ vẽ.Use this when the curve is awkward to write as $y$ in terms of $x$ ; increasing $t$ shows the direction of travel and the speed at which the curve is traced.

Trong đóWhere

t

tham số (parameter), thường được hiểu là thời gian hoặc một góc quay

f

hàm cho tọa độ ngang

x

theo

t

g

hàm cho tọa độ dọc

y

theo

t

I

khoảng giá trị mà tham số

t

được phép nhận, ví dụ

[a,b]

Hay hiểu saiCommon misconceptions2 ý · 1 phút đọc2 points · 1 min read

Đường cong phẳng không phải lúc nào cũng là đồ thị của hàm $y$ theo $x$ .

Đường tròn có hai điểm cùng $x$ , như $(0;1)$ và $(0;-1)$ , nên không qua được phép thử đường thẳng đứng. Đường tham số còn có thể tự cắt chính nó.

Khi $dx/dt=0$ , chưa chắc đường cong không có tiếp tuyến.

Nếu lúc đó $dy/dt\neq 0$ thì tiếp tuyến thẳng đứng, chỉ là $dy/dx$ không xác định. Nếu cả hai đạo hàm cùng bằng $0$ thì chưa kết luận được.

A plane curve is not always the graph of $y$ as a function of $x$ .

A circle has two points with the same $x$ -value, such as $(0,1)$ and $(0,-1)$ , so it fails the vertical line test. A parametric curve can also cross itself.

When $dx/dt=0$ , the curve does not necessarily lack a tangent line.

If $dy/dt\neq 0$ at that moment, the tangent line is vertical and $dy/dx$ is simply undefined. If both derivatives equal $0$ , no conclusion can be drawn yet.

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Độ dài cung: phải ghi tích phân trước khi bấm máy.

Đó là $\int_a^b\sqrt{(x')^2+(y')^2}\,dt$ , với $t$ chạy từ $a$ đến $b$ . Chỉ ghi số thập phân thì mất điểm phần thiết lập. Làm tròn ba chữ số sau dấu phẩy.

Tiếp tuyến ngang: $y'(t)=0$ mà $x'(t)\neq 0$ .

Tiếp tuyến thẳng đứng: $x'(t)=0$ mà $y'(t)\neq 0$ . Loại các nghiệm $t$ nằm ngoài khoảng đề cho. Nếu cả hai đạo hàm cùng bằng $0$ thì chưa kết luận được.

For arc length, write the integral before using your calculator.

The integral is $\int_a^b\sqrt{(x')^2+(y')^2}\,dt$ , with $t$ running from $a$ to $b$ . Giving only a decimal answer loses the setup point. Round to three decimal places.

A horizontal tangent requires $y'(t)=0$ with $x'(t)\neq 0$ , and a vertical tangent requires $x'(t)=0$ with $y'(t)\neq 0$ .

Discard any solutions for $t$ outside the given interval. If both derivatives equal $0$ , no conclusion can be drawn yet.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCHay gặpCommon

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

1887C. Jordan

Khoảng năm 1887, C. Jordan định nghĩa tổng quát đường cong phẳng bằng hai hàm liên tục của một tham số, hệ thống hóa cách hiểu vốn đã quen thuộc.

Around 1887, C. Jordan gave a general definition of a plane curve using two continuous functions of one parameter, formalizing an idea that was already familiar.

Nguồn đối chiếuSources

projecteuclid.orgthe origin and growth of mathematical concepts - rl wilder

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐịnh nghĩa và đạo hàm phương trình tham sốPhương trình tham số, tọa độ cực & hàm vectơ · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐạo hàm bậc hai của phương trình tham sốPhương trình tham số, tọa độ cực & hàm vectơ · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termPhương trình tham số, tọa độ cực & hàm vectơPhương trình tham số, tọa độ cực & hàm vectơ · khoácourse AP Calculus BC

Cần trướcLearn firsthàm sốfunction

Dẫn tớiLeads tophương trình trong toạ độ cựcpolar equation độ dài cungarc length

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

đường cong tham sốparametric curve

Khác nhau ở đâuHow they differĐường cong phẳng là tập hợp điểm trên mặt phẳng, không quan tâm cách vạch ra. Đường cong tham số là cách mô tả có thứ tự và hướng đi, qua

x(t)

và

y(t)

Hay nhầm khiMixed up whenĐề hỏi hình dạng hay phương trình

y

theo

x

của đường cong thì xét tập điểm; đề hỏi vận tốc, hướng đi hay thời điểm đi qua một điểm thì phải dùng tham số

t

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 671, 893, 908.