AP Calculus BC

phương trình trong toạ độ cựcpolar equation

polar equationVietnamese: phương trình trong toạ độ cực

Còn gọi:Also called: polar curve

Phương trình trong toạ độ cực (polar equation) là hệ thức giữa khoảng cách r từ gốc O và góc θ, mô tả đường cong gồm mọi điểm (r, θ) thoả hệ thức đó.A polar equation is a relation between the distance r from the origin O and the angle θ, describing a curve made up of all points (r, θ) that satisfy it.

Trực giác: Bạn đứng ở tâm và xoay mặt về một hướng. Phương trình cho biết phải bước tới bao nhiêu bước để đặt cột mốc (số âm thì bước lùi). Nối các cột mốc lại ta được đường cong.Intuition: Imagine standing at the center and turning to face one direction. The equation tells you how many steps to take to place a marker (a negative value means stepping backward). Connecting the markers gives the curve.

Công thức chínhKey formula

x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Phương trình trong toạ độ cực (polar equation) cho biết $r$ phụ thuộc $\theta$ thế nào, thường viết $r=f(\theta)$ . Ở đây $r$ là khoảng cách có dấu từ gốc $O$ đến điểm, còn $\theta$ là góc tính từ trục cực (tia $Ox$ ). Các điểm $(r,\theta)$ thoả phương trình tạo thành một đường cong. Ví dụ, $r=2$ là đường tròn tâm $O$ bán kính $2$ .

Khi $r<0$ , điểm nằm phía đối diện tia góc $\theta$ qua $O$ . Vì vậy $\theta=1$ (radian) với mọi $r$ là cả một đường thẳng qua $O$ . Một điểm có nhiều cặp toạ độ cực, nên giải hệ khi tìm giao điểm có thể bỏ sót điểm. Trước khi vẽ, hãy xem $\theta$ chạy đến đâu thì đường cong bắt đầu lặp lại.

A polar equation tells how $r$ depends on $\theta$ , usually written $r=f(\theta)$ . Here $r$ is the signed distance from the origin $O$ to the point, and $\theta$ is the angle measured from the polar axis (the ray $Ox$ ). The points $(r,\theta)$ that satisfy the equation form a curve. For example, $r=2$ is the circle centered at $O$ with radius $2$ .

When $r<0$ , the point lies on the opposite side of $O$ from the ray at angle $\theta$ . For this reason, $\theta=1$ (radian) with any $r$ is an entire line through $O$ . Because a point has many pairs of polar coordinates, solving a system to find intersections can miss some points. Before graphing, check how far $\theta$ must run before the curve begins to repeat.

Ký hiệuNotation

• $r=f(\theta)$
• $x=r\cos\theta$ , $y=r\sin\theta$
• $r^2=x^2+y^2$
• $\tan\theta=\dfrac{y}{x}$

Đơn vịUnits$\theta$ tính bằng radian (rad) trong các bài giải tích; $r$ cùng đơn vị độ dài với hệ trục.

Công thức chi tiếtFormula details3 công thức3 formulas

x=\htmlClass{fp-0}{r\cos\theta},\quad y=\htmlClass{fp-1}{r\sin\theta}

Dùng để đổi $r=f(\theta)$ sang phương trình Descartes, hoặc tính $\dfrac{dy}{dx}$ khi $x$ , $y$ đều là hàm của $\theta$ .Use these to convert $r=f(\theta)$ to a Cartesian equation, or to find $\dfrac{dy}{dx}$ when $x$ and $y$ are both functions of $\theta$ .

Trong đóWhere

r

bán kính cực, khoảng cách có dấu từ gốc

O

đến điểm

P

\theta

góc cực, đo từ trục cực (tia

Ox

dương) đến tia

OP

— rad

x,\ y

hoành độ và tung độ của

P

trong toạ độ Descartes

r^2=\htmlClass{fp-0}{x^2+y^2},\quad \tan\theta=\htmlClass{fp-1}{\dfrac{y}{x}}

Dùng để đổi $(x,y)$ sang $(r,\theta)$ ; chọn $\theta$ theo góc phần tư, vì $\tan\theta$ không phân biệt hai góc cách nhau $\pi$ .Use these to convert $(x,y)$ to $(r,\theta)$ . Choose $\theta$ according to the quadrant, because $\tan\theta$ cannot distinguish two angles that differ by $\pi$ .

Trong đóWhere

r

bán kính cực, có thể lấy

r=\pm\sqrt{x^2+y^2}

tuỳ cách chọn góc

\theta

góc cực của điểm

P

— rad

x,\ y

toạ độ Descartes của

P

r=f(\theta)

Dạng tổng quát của phương trình cực. $\theta=\text{const}$ cho đường thẳng qua $O$ ; $r=\text{const}$ cho đường tròn tâm $O$ .This is the general form of a polar equation. $\theta=\text{const}$ gives a line through $O$ , and $r=\text{const}$ gives a circle centered at $O$ .

Trong đóWhere

r

bán kính cực, phụ thuộc vào góc

\theta

góc cực, biến độc lập — rad

f

hàm số cho biết

r

ứng với mỗi giá trị của

\theta

Hay hiểu saiCommon misconceptions2 ý · 1 phút đọc2 points · 1 min read

Đổi sang toạ độ cực phải thay cả $x$ lẫn $y$ .

Chỉ thay một biến sẽ không còn hệ thức giữa $r$ và $\theta$ . Với $x^2-y^2=1$ : $r^2\cos^2\theta-r^2\sin^2\theta=1$ , tức $r^2\cos 2\theta=1$ , nên $r^2=\dfrac{1}{\cos 2\theta}$ .

$r$ luôn dương là sai.

$r$ là khoảng cách có dấu, nên $r<0$ vẫn hợp lệ. Khi đó điểm nằm phía đối diện tia góc $\theta$ , và $(r,\theta)$ trùng với $(-r,\theta+\pi)$ . Hãy xét dấu $r$ trên từng khoảng của $\theta$ để khỏi vẽ thiếu hoặc thừa.

Converting to polar coordinates requires substituting for both $x$ and $y$ .

Replacing only one variable leaves no relation between $r$ and $\theta$ . For $x^2-y^2=1$ : $r^2\cos^2\theta-r^2\sin^2\theta=1$ , so $r^2\cos 2\theta=1$ , and therefore $r^2=\dfrac{1}{\cos 2\theta}$ .

It is false that $r$ must always be positive.

Since $r$ is a signed distance, $r<0$ is valid. The point then lies opposite the ray at angle $\theta$ , and $(r,\theta)$ coincides with $(-r,\theta+\pi)$ . Check the sign of $r$ on each interval of $\theta$ to avoid leaving out or adding extra parts of the graph.

Mẹo phòng thiExam tips1 mẹo1 tip

Câu "show that" đổi sang toạ độ cực: ghi đủ từng bước.

Thay $x=r\cos\theta$ , $y=r\sin\theta$ , đặt $r^2$ làm thừa số chung, rồi mới biến đổi tiếp. Kết quả đã cho sẵn, nên điểm nằm ở các bước trung gian.

In a "show that" question on converting to polar form, write out every step.

Substitute $x=r\cos\theta$ , $y=r\sin\theta$ , factor out $r^2$ , and only then simplify further. The result is given, so the marks are in the intermediate steps.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCHay gặpCommon

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

giữa thế kỷ 17Grégoire de Saint-VincentBonaventura CavalieriBlaise PascalGregorio Fontana

Giữa thế kỷ 17, Grégoire de Saint-Vincent và Bonaventura Cavalieri độc lập đề xuất toạ độ cực khi nghiên cứu chuyển động tròn và chuyển động quỹ đạo.

In the mid-17th century, Grégoire de Saint-Vincent and Bonaventura Cavalieri independently proposed polar coordinates while studying circular and orbital motion.

Vì sao mang đúng cái tên này? Cụm từ "toạ độ cực" (polar coordinates) được cho là do Gregorio Fontana đặt ra vào thế kỷ 18. Như vậy, ý tưởng đã xuất hiện từ giữa thế kỷ 17 nhưng phải chờ khoảng một thế kỷ sau mới có tên gọi này. Phương trình trong toạ độ cực đơn giản là phương trình của một đường cong viết bằng các toạ độ của hệ ấy, chẳng hạn xoắn ốc Archimedes, vốn do Archimedes phát hiện và có thể biểu diễn bằng một phương trình cực rất gọn.

Nguồn đối chiếuSources

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTọa độ cực & đạo hàm trong dạng cựcPhương trình tham số, tọa độ cực & hàm vectơ · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termDiện tích miền cực giới hạn bởi một đường cong cựcPhương trình tham số, tọa độ cực & hàm vectơ · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termPhương trình tham số, tọa độ cực & hàm vectơPhương trình tham số, tọa độ cực & hàm vectơ · khoácourse AP Calculus BC

Cần trướcLearn firsthệ toạ độ cựcpolar coordinate system hàm số lượng giáctrigonometric function

Dẫn tớiLeads tophương trình tham sốparametric equations

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

phương trình tham sốparametric equations

Khác nhau ở đâuHow they differPhương trình cực biểu diễn đường cong bằng một hệ thức

r = f(\theta)

giữa khoảng cách và góc. Phương trình tham số cho riêng

x(t)

và

y(t)

theo một tham số

t

Hay nhầm khiMixed up whenKhi đề yêu cầu tính

\dfrac{dy}{dx}

của đường cực, thí sinh hay áp công thức tham số mà quên rằng

x

và

y

đều phải viết qua

r\cos\theta

và

r\sin\theta

trước.

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 693, 700, 719.