AP Calculus BC

đường limaçonlimaçon

limaçonVietnamese: đường limaçon

Đường limaçon là đường cong cực có bán kính bằng một hằng số cộng với một bội của sin hoặc cos của góc; hình dạng phụ thuộc vào hai hệ số này.A limaçon is a polar curve whose radius equals a constant plus a multiple of the sine or cosine of the angle; its shape depends on the two coefficients.

Trực giác: Như vòng dây thun bị kéo lệch: kéo nhẹ thì méo, kéo mạnh thì lõm thành hình tim, kéo nữa thì xoắn ra vòng nhỏ.Intuition: Picture a rubber band being pulled off center: a gentle pull distorts it, a stronger pull dents it into a heart shape, and a still stronger pull twists it into a small inner loop.

Công thức chínhKey formula

r=a+b\cos\theta

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Đường limaçon (đường ốc sên) là đường cong trong tọa độ cực. Điểm ứng với góc $\theta$ có bán kính $r=a+b\cos\theta$ (hoặc $r=a+b\sin\theta$ ), với $a,b$ là hằng số khác $0$ . Ví dụ $r=2+\cos\theta$ cho đường lồi, còn $r=1+2\cos\theta$ có vòng trong.

Hình dạng phụ thuộc $|a|$ so với $|b|$ . Nếu $|a|\ge 2|b|$ , đường lồi. Nếu $|b|<|a|<2|b|$ , đường có chỗ lõm. Nếu $|a|=|b|$ , đường hình tim. Nếu $|a|<|b|$ , $r$ đổi dấu nên đường có vòng trong.

A limaçon (also called a snail curve) is a curve in polar coordinates. The point at angle $\theta$ has radius $r=a+b\cos\theta$ (or $r=a+b\sin\theta$ ), where $a,b$ are nonzero constants. For example, $r=2+\cos\theta$ gives a convex curve, while $r=1+2\cos\theta$ has an inner loop.

The shape depends on how $|a|$ compares with $|b|$ . If $|a|\ge 2|b|$ , the curve is convex. If $|b|<|a|<2|b|$ , the curve has a dimple. If $|a|=|b|$ , the curve is a cardioid. If $|a|<|b|$ , $r$ changes sign, so the curve has an inner loop.

Ký hiệuNotation

• $r = a + b\sin\theta$ hoặc $r = a + b\cos\theta$ , với $a$ , $b$ là hằng số
•trường hợp $a = b$ cho đường hình tim (cardioid).

Giải nghĩa công thứcFormula breakdown1 công thức1 formula

r=\htmlClass{fp-2}{\htmlClass{fp-0}{a}+\htmlClass{fp-1}{b\cos\theta}}

Dùng để nhận dạng và phác họa limaçon; so sánh $a$ với $|b|$ để biết có lõm, điểm nhọn hay vòng trong.Use this form to identify and sketch a limaçon; compare $a$ with $|b|$ to tell whether the curve has a dimple, a cusp, or an inner loop.

Trong đóWhere

r

khoảng cách (có hướng) từ gốc tọa độ đến điểm trên đường cong

\theta

góc cực, tính từ trục cực dương — radian

a

hằng số nền, cho biết bán kính khi phần dao động bằng 0

b

hệ số của phần dao động, quyết định mức độ kéo dài và dấu của nó quyết định hướng của đường cong

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Không phải limaçon nào cũng có vòng trong.

Chỉ khi $|a|<|b|$ mới có vòng trong. Với $|a|=|b|$ ta được đường hình tim, và khi $|a|>|b|$ đường không có vòng trong. Nếu $|a|\ge 2|b|$ , đường hoàn toàn lồi.

Khi $r<0$ , điểm nằm phía đối diện gốc, không nằm trên tia $\theta$ .

Điểm $(r,\theta)$ với $r<0$ trùng với $(|r|,\theta+\pi)$ . Nếu đặt điểm theo tia $\theta$ , bạn sẽ vẽ sai vị trí phần vòng trong.

Đừng lẫn trục đối xứng của dạng cos và dạng sin.

Dạng cos đối xứng qua trục hoành, dạng sin đối xứng qua trục tung. Khi $b<0$ , hình lật sang phía đối diện nhưng trục đối xứng giữ nguyên. Khi phác họa, thử $\theta=0$ và $\theta=\pi/2$ trước.

Not every limaçon has an inner loop.

An inner loop appears only when $|a|<|b|$ . When $|a|=|b|$ the curve is a cardioid, and when $|a|>|b|$ there is no inner loop; if $|a|\ge 2|b|$ , the curve is fully convex.

When $r<0$ , the point lies on the opposite side of the origin, not on the ray at angle $\theta$ .

The point $(r,\theta)$ with $r<0$ coincides with $(|r|,\theta+\pi)$ . Plotting such points along the ray at angle $\theta$ puts the inner loop in the wrong place.

The axes of symmetry for the cosine and sine forms are different.

The cosine form is symmetric about the horizontal axis (polar axis), and the sine form is symmetric about the vertical axis. When $b<0$ , the graph flips to the opposite side, but the axis of symmetry stays the same. When sketching, test $\theta=0$ and $\theta=\pi/2$ first.

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Giải $r=0$ để tìm cận trước khi viết tích phân diện tích vòng trong.

Vòng trong ứng với các góc làm $r<0$ . Với $r=1+2\sin\theta$ , giải $\sin\theta=-\tfrac12$ được $\theta=\tfrac{7\pi}{6}$ và $\tfrac{11\pi}{6}$ .

Độ dốc tiếp tuyến là $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$ , không phải $\dfrac{dr}{d\theta}$ .

Viết $x=r\cos\theta$ , $y=r\sin\theta$ rồi đạo hàm theo $\theta$ . Tiếp tuyến ngang khi $dy/d\theta=0$ và $dx/d\theta\ne 0$ ; ghi rõ cả hai điều kiện.

Solve $r=0$ to find the limits of integration before setting up the area integral for the inner loop.

The inner loop corresponds to the angles where $r<0$ . For $r=1+2\sin\theta$ , solving $\sin\theta=-\tfrac12$ gives $\theta=\tfrac{7\pi}{6}$ and $\tfrac{11\pi}{6}$ .

The slope of the tangent line is $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$ , not $\dfrac{dr}{d\theta}$ .

Write $x=r\cos\theta$ and $y=r\sin\theta$ , then differentiate with respect to $\theta$ . The tangent is horizontal when $dy/d\theta=0$ and $dx/d\theta\ne 0$ , so state both conditions.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

1650Étienne PascalAlbrecht DürerGilles de Roberval

Gilles de Roberval đặt tên limaçon (nguồn ghi năm 1650) khi dùng nó làm ví dụ cho bài toán tìm tiếp tuyến; Étienne Pascal nghiên cứu nó trước đó.

Gilles de Roberval named the limaçon (a source gives the year 1650) when he used it as an example for the tangent-line problem; Étienne Pascal had studied it earlier.

Vì sao mang đúng cái tên này? Tên "limaçon" do Roberval đặt, lấy từ chữ Latin "limax", nghĩa là con ốc sên. Vì vậy trong tiếng Pháp, limaçon chính là "con ốc sên", và đường cong còn được gọi là ốc sên Pascal (Pascal's Snail) hay đường limaçon của Pascal. Cần lưu ý rằng người đặt tên (Roberval) không phải người nghiên cứu đầu tiên: cái tên Pascal gắn vào đường cong là nhờ Étienne Pascal, cha của nhà toán học Blaise Pascal, chứ không phải chính Blaise. Roberval đặt tên trong lúc dùng đường cong này làm ví dụ cho bài toán tiếp tuyến, nên cái tên ra đời từ một bối cảnh rất thực dụng của giải tích sơ khai.

Nguồn đối chiếuSources

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTọa độ cực & đạo hàm trong dạng cựcPhương trình tham số, tọa độ cực & hàm vectơ · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termDiện tích miền cực giới hạn bởi một đường cong cựcPhương trình tham số, tọa độ cực & hàm vectơ · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termDiện tích miền giới hạn bởi hai đường cong cựcPhương trình tham số, tọa độ cực & hàm vectơ · khoácourse AP Calculus BC

Cần trướcLearn firstphương trình trong toạ độ cựcpolar equation hệ toạ độ cựcpolar coordinate system

Dẫn tớiLeads totích phân xác địnhdefinite integral

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

đường cardioidcardioid

Khác nhau ở đâuHow they differĐường limaçon tổng quát

r=a\pm b\cos\theta

có thể có vòng nhỏ bên trong, lõm vào hoặc lồi tuỳ tỉ số

a/b

. Đường cardioid ứng với

a=b

nên có một điểm nhọn tại gốc.

Hay nhầm khiMixed up whenĐề cho

r=2+2\cos\theta

thì đó là cardioid; còn

r=1+2\cos\theta

hay

r=3+2\cos\theta

thì là limaçon có vòng nhỏ hoặc không có điểm nhọn.

đường hoa hồngrose

Khác nhau ở đâuHow they differĐường limaçon có dạng

r=a\pm b\cos\theta

với hằng số

a

cộng vào, chỉ có một vòng lớn. Đường hoa hồng có dạng

r=a\cos n\theta

, không có hằng số cộng và gồm nhiều cánh.

Hay nhầm khiMixed up whenKhi nhìn phương trình cực có

\cos\theta

, cần xem có hằng số cộng hay không và góc là

\theta

hay

n\theta

để biết đó là limaçon hay hoa hồng.

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 697–699.