AP Calculus BC

đường hoa hồngrose

roseVietnamese: đường hoa hồng

Đường hoa hồng (rose) là đường cong trong tọa độ cực có các cánh đều nhau tỏa quanh gốc tọa độ, như cánh của một bông hoa.A rose is a polar curve whose evenly spaced petals radiate from the origin, like the petals of a flower.

Trực giác: Giống chong chóng có các cánh đều nhau quanh tâm: a là độ dài cánh, n quyết định số cánh (n chẵn thì số cánh gấp đôi).Intuition: A rose is like a pinwheel with equal blades around its center: $a$ is the petal length, and $n$ determines the number of petals (when $n$ is even, the number of petals doubles).

Công thức chínhKey formula

r=a\cos(n\theta)

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Đường hoa hồng (rose) là đường cong trong tọa độ cực, trông như bông hoa có các cánh đều nhau quanh gốc. Phương trình là $r=a\cos n\theta$ hoặc $r=a\sin n\theta$ . Ở đây $r$ là độ dài đoạn từ gốc (có thể mang dấu âm), $\theta$ là góc, $a>0$ và $n$ nguyên dương.

Vì $|r|\le a$ nên $a$ là độ dài lớn nhất của cánh. Nếu $n$ lẻ thì có $n$ cánh, nếu $n$ chẵn thì có $2n$ cánh. Ví dụ $r=a\cos 2\theta$ có 4 cánh. Dạng cosin có một cánh nằm trên trục cực ( $r=a$ khi $\theta=0$ ). Dạng sin là dạng cosin xoay đi một góc.

A rose is a polar curve that looks like a flower, with equal petals arranged around the origin. Its equation is $r=a\cos n\theta$ or $r=a\sin n\theta$ , where $r$ is the signed distance from the origin (it can be negative), $\theta$ is the angle, $a>0$ , and $n$ is a positive integer.

Because $|r|\le a$ , the constant $a$ is the maximum petal length. If $n$ is odd, the rose has $n$ petals; if $n$ is even, it has $2n$ petals. For example, $r=a\cos 2\theta$ has 4 petals. The cosine form has one petal along the polar axis ( $r=a$ when $\theta=0$ ). The sine form is the cosine form rotated by a fixed angle.

Ký hiệuNotation

• $r = a\cos n\theta$ , $r = a\sin n\theta$
• $a$ là độ dài cánh, $n$ quyết định số cánh
•diện tích $A=\dfrac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta} r^2\,d\theta$ .

Giải nghĩa công thứcFormula breakdown1 công thức1 formula

r=\htmlClass{fp-3}{\htmlClass{fp-0}{a}\htmlClass{fp-2}{\cos\htmlClass{fp-1}{(n\theta)}}}

Dùng để nhận dạng và vẽ hoa hồng cực: $n$ lẻ có $n$ cánh, $n$ chẵn có $2n$ cánh.Use this to identify and sketch polar roses: an odd $n$ gives $n$ petals, and an even $n$ gives $2n$ petals.

Trong đóWhere

r

khoảng cách có hướng từ gốc tọa độ tới điểm trên đường cong

a

hằng số dương, bằng độ dài lớn nhất của mỗi cánh hoa

n

số nguyên dương, quyết định số cánh hoa

\theta

góc cực, tính từ trục cực — radian

Hay hiểu saiCommon misconceptions2 ý · 1 phút đọc2 points · 1 min read

Số cánh không luôn bằng $n$ : $n$ chẵn thì có $2n$ cánh.

Ví dụ $r=a\cos 2\theta$ có 4 cánh, không phải 2. Khi $n$ chẵn, các giá trị $r$ âm vẽ thêm cánh ở phía đối diện. Khi $n$ lẻ, chúng chỉ vẽ lại cánh đã có.

Điểm có $r<0$ nằm ở phía đối diện hướng $\theta$ , đừng bỏ qua.

Điểm $(r,\theta)$ với $r<0$ trùng điểm $(|r|,\theta+\pi)$ . Ví dụ với $r=a\cos 2\theta$ tại $\theta=\pi/2$ có $r=-a$ . Trong tọa độ Descartes, điểm đó là $(x,y)=(0,-a)$ , không phải $(0,a)$ .

The number of petals is not always $n$ : when $n$ is even, there are $2n$ petals.

For example, $r=a\cos 2\theta$ has 4 petals, not 2. When $n$ is even, the negative values of $r$ trace additional petals on the opposite side; when $n$ is odd, they only retrace petals already drawn.

A point with $r<0$ lies on the side opposite the direction of $\theta$ , so do not ignore it.

The point $(r,\theta)$ with $r<0$ coincides with $(|r|,\theta+\pi)$ . For example, for $r=a\cos 2\theta$ at $\theta=\pi/2$ , $r=-a$ . In Cartesian coordinates, that point is $(x,y)=(0,-a)$ , not $(0,a)$ .

Mẹo phòng thiExam tips3 mẹo3 tips

Giải $r=0$ trước để tìm cận cho một cánh.

Gọi $\alpha,\beta$ là hai nghiệm liên tiếp của $r=0$ với $r=a\cos n\theta$ . Hai nghiệm này chặn đúng một cánh. Diện tích một cánh là $A=\tfrac12\int_{\alpha}^{\beta}r^2\,d\theta$ .

Khi nhân hệ số nhờ đối xứng, hãy ghi rõ số cánh.

Hoa $r=a\cos 2\theta$ có 4 cánh bằng nhau, nên diện tích cả hoa là $4\cdot\tfrac12\int_{-\pi/4}^{\pi/4}r^2\,d\theta$ .

Chọn đúng khoảng góc để vẽ trọn cả hoa một lần.

Với $n$ chẵn dùng $[0,2\pi]$ . Với $n$ lẻ chỉ cần $[0,\pi]$ . Nếu dùng $[0,2\pi]$ cho $n$ lẻ, mỗi cánh bị vẽ hai lần nên tích phân diện tích ra gấp đôi.

Solve $r=0$ first to find the limits for one petal.

For $r=a\cos n\theta$ , let $\alpha$ and $\beta$ be two consecutive solutions of $r=0$ . These two values bound exactly one petal. The area of one petal is $A=\tfrac12\int_{\alpha}^{\beta}r^2\,d\theta$ .

When you use symmetry to multiply the area of one petal, state the number of petals explicitly.

The rose $r=a\cos 2\theta$ has 4 equal petals, so the area of the whole rose is $4\cdot\tfrac12\int_{-\pi/4}^{\pi/4}r^2\,d\theta$ .

Choose the angle interval that traces the whole rose exactly once.

For even $n$ , use $[0,2\pi]$ ; for odd $n$ , $[0,\pi]$ is enough. If you use $[0,2\pi]$ for odd $n$ , each petal is traced twice, so the area integral comes out twice as large.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCHay gặpCommon

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

giữa năm 1723 và 1728Luigi Guido Grandi (1671–1742)

Khoảng giữa năm 1723 và 1728, nhà toán học Ý Guido Grandi nghiên cứu họ đường cong này và đặt tên là "rhodonea".

Between about 1723 and 1728, the Italian mathematician Guido Grandi studied this family of curves and named them "rhodonea."

Nguồn đối chiếuSources

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTọa độ cực & đạo hàm trong dạng cựcPhương trình tham số, tọa độ cực & hàm vectơ · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termDiện tích miền cực giới hạn bởi một đường cong cựcPhương trình tham số, tọa độ cực & hàm vectơ · khoácourse AP Calculus BC

Cần trướcLearn firsthàm số lượng giáctrigonometric function

Dẫn tớiLeads totích phân xác địnhdefinite integral

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

đường cardioidcardioid

Khác nhau ở đâuHow they differĐường hoa hồng

r=a\cos(n\theta)

có các cánh tách rời, cùng đi qua gốc toạ độ. Đường cardioid chỉ là một vòng kín hình trái tim với một điểm lõm tại gốc.

Hay nhầm khiMixed up whenĐề cho

r=a\pm b\cos\theta

thì đó là cardioid hoặc limaçon, còn khi

r

chỉ có

a\cos(n\theta)

không có hằng số cộng thì mới là hoa hồng; học sinh hay nhầm khi vẽ phác đồ thị.

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 22, 130, 187.