AP Calculus BC

hệ toạ độ cựcpolar coordinate system

polar coordinate systemVietnamese: hệ toạ độ cực

Còn gọi:Also called: polar coordinates

Hệ toạ độ cực (polar coordinate system) là hệ xác định vị trí điểm trong mặt phẳng bằng khoảng cách r tới gốc cực và góc θ tính từ trục cực.The polar coordinate system locates a point in the plane by its distance r from the pole and its angle θ measured from the polar axis.

Trực giác: Giống như chỉ đường cho người khác bằng câu "quay mặt về hướng đó rồi đi thẳng chừng ấy mét", thay vì "đi sang phải bao nhiêu, rồi đi lên bao nhiêu".Intuition: It is like giving directions by saying "face that way and walk this many meters" instead of "go this far right, then this far up."

Công thức chínhKey formula

x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Hệ toạ độ cực mô tả mỗi điểm $P$ bằng cặp $(r,\theta)$ . Ở đây $r$ là khoảng cách có dấu từ gốc cực $O$ tới $P$ . Còn $\theta$ là góc quay ngược chiều kim đồng hồ từ trục cực (thường là nửa trục $Ox$ dương). Nếu $r<0$ , điểm nằm phía đối diện hướng $\theta$ .

Một điểm có vô số cách viết. Ví dụ $(2,\tfrac{\pi}{6})$ , $(2,\tfrac{13\pi}{6})$ và $(-2,\tfrac{7\pi}{6})$ là cùng một điểm. Khi đổi sang $(x,y)$ , $\tan\theta=y/x$ không phân biệt hai góc cách nhau $\pi$ . Vì vậy phải xét điểm nằm ở góc phần tư nào để chọn $\theta$ .

The polar coordinate system describes each point $P$ by an ordered pair $(r,\theta)$ . Here $r$ is the signed distance from the pole $O$ to $P$ , and $\theta$ is the counterclockwise angle from the polar axis (usually the positive $x$ -axis). If $r<0$ , the point lies in the direction opposite to $\theta$ .

A single point has infinitely many polar representations. For example, $(2,\tfrac{\pi}{6})$ , $(2,\tfrac{13\pi}{6})$ , and $(-2,\tfrac{7\pi}{6})$ all name the same point. When converting to $(x,y)$ , $\tan\theta=y/x$ cannot distinguish between two angles that differ by $\pi$ , so you must determine which quadrant the point is in to choose $\theta$ .

Ký hiệuNotation

• $(r, \theta)$ là toạ độ cực của một điểm
• $x = r\cos\theta$ , $y = r\sin\theta$
•đường cong cực viết dạng $r = f(\theta)$ .

Công thức chi tiếtFormula details2 công thức2 formulas

\htmlClass{fp-0}{x=r\cos\theta},\quad \htmlClass{fp-1}{y=r\sin\theta}

Dùng khi biết $(r,\theta)$ và cần $(x,y)$ : vẽ điểm hoặc đổi phương trình cực sang $x,y$ . Đúng cả khi $r<0$ .Use these when you know $(r,\theta)$ and need $(x,y)$ , either to plot a point or to convert a polar equation to rectangular form. They also hold when $r<0$ .

Trong đóWhere

r

tọa độ bán kính, là khoảng cách có dấu từ cực đến điểm;

r<0

nghĩa là điểm nằm ở phía đối diện với tia góc

\theta

\theta

tọa độ góc, đo từ trục cực ngược chiều kim đồng hồ — radian

x,\ y

hoành độ và tung độ của điểm trong hệ tọa độ Descartes

r^2=\htmlClass{fp-0}{x^2+y^2},\quad \tan\theta=\htmlClass{fp-1}{\dfrac{y}{x}}

Dùng khi biết $(x,y)$ và cần $(r,\theta)$ . Xét góc phần tư để chọn $\theta$ ; nếu $x=0$ thì đọc góc từ vị trí điểm trên trục $Oy$ .Use these when you know $(x,y)$ and need $(r,\theta)$ . Check the quadrant to choose $\theta$ ; if $x=0$ , read the angle from where the point lies on the $y$ -axis.

Trong đóWhere

x,\ y

hoành độ và tung độ của điểm trong hệ tọa độ Descartes

r

khoảng cách từ gốc tọa độ (cực) đến điểm, lấy

r=\sqrt{x^2+y^2}

khi chọn

r\ge 0

\theta

góc từ trục cực đến tia nối cực với điểm — radian

Hay hiểu saiCommon misconceptions1 ý · 1 phút đọc1 point · 1 min read

Giải $f(\theta)=g(\theta)$ chưa tìm đủ giao điểm của hai đường $r=f(\theta)$ và $r=g(\theta)$ .

Một điểm có nhiều cách viết, nên hai đường có thể gặp nhau ở các giá trị $\theta$ khác nhau. Hãy kiểm tra riêng từng đường có đi qua gốc không, vì gốc hay bị sót.

Solving $f(\theta)=g(\theta)$ does not find all intersection points of the curves $r=f(\theta)$ and $r=g(\theta)$ .

Because a point has many representations, the curves can meet at different values of $\theta$ . Check separately whether each curve passes through the pole, since the pole is easy to miss.

Mẹo phòng thiExam tips1 mẹo1 tip

Đặt máy tính ở chế độ radian trước khi tính tích phân hay đạo hàm cực.

Đề AP dùng radian cho $\theta$ . Máy ở chế độ độ vẫn cho số hợp lệ nhưng sai, không có cảnh báo. Giữ ít nhất ba chữ số thập phân.

Set your calculator to radian mode before evaluating polar integrals or derivatives.

AP problems use radians for $\theta$ , and a calculator in degree mode will still return a valid-looking but wrong number with no warning. Keep at least three decimal places.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCHay gặpCommon

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

giữa thế kỷ 17Grégoire de Saint-VincentBonaventura CavalieriIsaac NewtonJacob Bernoulli

Giữa thế kỷ 17, Saint-Vincent và Cavalieri độc lập đưa ra toạ độ cực; Cavalieri công bố năm 1635, dùng nó tính diện tích trong xoắn ốc Archimedes.

In the mid-17th century, Saint-Vincent and Cavalieri independently introduced polar coordinates; Cavalieri published his work in 1635, using them to calculate areas within the Archimedean spiral.

Vì sao mang đúng cái tên này? Chữ "cực" trong tên gọi xuất phát từ điểm cố định được chọn làm mốc, gọi là cực (pole). Mỗi điểm của mặt phẳng được xác định bằng khoảng cách từ cực đến điểm đó và bằng góc đo từ một tia cố định gọi là trục cực (polar axis). Cách gọi này có mặt trong công trình của Jacob Bernoulli đăng trên tạp chí Acta Eruditorum năm 1691, khi ông dùng một điểm nằm trên một đường thẳng, và hai thứ này được gọi lần lượt là cực và trục cực. Vì vậy, toạ độ "cực" là toạ độ lấy cực làm gốc quy chiếu, khác với hệ Descartes lấy hai trục vuông góc làm chuẩn. Các trang đã đọc không cho biết ai là người đầu tiên đặt đúng cụm từ "toạ độ cực" (polar coordinates).

Nguồn đối chiếuSources

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTọa độ cực & đạo hàm trong dạng cựcPhương trình tham số, tọa độ cực & hàm vectơ · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termDiện tích miền cực giới hạn bởi một đường cong cựcPhương trình tham số, tọa độ cực & hàm vectơ · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termPhương trình tham số, tọa độ cực & hàm vectơPhương trình tham số, tọa độ cực & hàm vectơ · khoácourse AP Calculus BC

Cần trướcLearn firstradianradian hàm số lượng giáctrigonometric function

Dẫn tớiLeads tođường hoa hồngrose đường cardioidcardioid

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

phương trình tham sốparametric equations

Khác nhau ở đâuHow they differHệ toạ độ cực xác định điểm bằng khoảng cách r và góc θ. Phương trình tham số cho x và y cùng là hàm của một tham số t.

Hay nhầm khiMixed up whenĐề cho

r=f(\theta)

rồi hỏi

\dfrac{dy}{dx}

hay vận tốc: phải đổi sang

x=r\cos\theta

y=r\sin\theta

với θ làm tham số, không lấy

\dfrac{dr}{d\theta}

làm hệ số góc.

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 690–691, 1362.