AP Calculus BC

hướng của đường cong tham sốorientation

orientationVietnamese: hướng của đường cong tham số

Hướng của đường cong tham số (orientation) là chiều mà điểm vẽ ra đường cong đi dọc theo nó khi tham số tăng dần.The orientation of a parametric curve is the direction in which the point (x(t), y(t)) traces the curve as the parameter t increases.

Trực giác: Như xe chạy trên đường: đường là đồ thị, hướng cho biết xe đi về phía nào khi đồng hồ chạy. Xe vẫn có thể quay đầu.Intuition: Think of a car on a road: the road is the graph, and the orientation tells you which way the car is heading as the clock runs. The car can still turn around.

Công thức chínhKey formula

\tilde{\mathbf{r}}(t)=\mathbf{r}(a+b-t),\quad a\le t\le b

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Mỗi giá trị $t$ cho một điểm $(x(t),y(t))$ . Hướng là chiều điểm này đi dọc đồ thị khi $t$ tăng, thường vẽ bằng mũi tên.

Với $x=\cos t,\ y=\sin t$ , điểm đi ngược chiều kim đồng hồ trên đường tròn đơn vị. Với $x=\cos t,\ y=-\sin t$ , điểm đi cùng chiều kim đồng hồ. Đồ thị giống nhau nhưng hướng khác nhau.

Để tìm hướng, lập bảng giá trị $t$ tăng dần, hoặc xét dấu $\dfrac{dx}{dt}$ và $\dfrac{dy}{dt}$ trên từng khoảng. Nếu đường cong bị đi lại, điểm quay đầu và chiều đi bị đảo ngược.

Each value of $t$ gives a point $(x(t),y(t))$ . The orientation is the direction this point moves along the graph as $t$ increases, and it is usually shown with arrows.

For $x=\cos t,\ y=\sin t$ , the point moves counterclockwise around the unit circle. For $x=\cos t,\ y=-\sin t$ , it moves clockwise. The graphs are identical, but the orientations are opposite.

To find the orientation, make a table with increasing values of $t$ , or check the signs of $\dfrac{dx}{dt}$ and $\dfrac{dy}{dt}$ on each interval. If the curve is retraced, the point turns around and its direction of travel reverses.

Ký hiệuNotation

•Đường cong cho bởi $x=x(t)$ , $y=y(t)$ với $a\le t\le b$
•điểm đầu ứng với $t=a$ , điểm cuối ứng với $t=b$
•chiều đi xác định bởi dấu của $\dfrac{dx}{dt}$ và $\dfrac{dy}{dt}$ .

Công thức chi tiếtFormula details2 công thức2 formulas

\htmlClass{fp-0}{\tilde{\mathbf{r}}(t)}=\htmlClass{fp-2}{\mathbf{r}(\htmlClass{fp-1}{a+b-t})},\quad \htmlClass{fp-3}{a\le t\le b}

Dùng khi cần viết lại đường cong theo chiều ngược lại, hoặc so sánh hai tham số hoá cùng vẽ một đường cong nhưng khác hướng.Use this when you need to rewrite the curve in the opposite direction, or to compare two parametrizations that trace the same curve with different orientations.

Trong đóWhere

\mathbf{r}(t)

hàm vectơ cho vị trí của điểm chuyển động tại thời điểm (tham số)

t

, tức

\mathbf{r}(t)=\langle x(t),y(t)\rangle

\tilde{\mathbf{r}}(t)

cách tham số hóa mới, vẽ cùng đường cong nhưng theo hướng ngược lại

t

tham số, thường được hiểu là thời gian

a,\ b

hai đầu mút của khoảng giá trị tham số, với

a<b

\mathbf{r}'(t)=\langle x'(t),\,y'(t)\rangle

Dùng để xác định hướng tại thời điểm $t$ : $x'(t)>0$ là sang phải, $y'(t)>0$ là đi lên; thường nhanh hơn lập bảng giá trị.Use this to determine the orientation at time $t$ : $x'(t)>0$ means the point moves right, and $y'(t)>0$ means it moves up. This is often faster than making a table of values.

Trong đóWhere

\mathbf{r}'(t)

vectơ vận tốc, tiếp xúc với đường cong và chỉ chiều chuyển động

x'(t),\ y'(t)

đạo hàm theo

t

của hai hàm thành phần; dấu của chúng cho biết chiều chuyển động theo phương ngang và phương đứng

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Đồ thị hay phương trình sau khi khử tham số không cho biết hướng.

Hai cặp $x=\cos t,\ y=\pm\sin t$ cùng cho đường tròn $x^2+y^2=1$ nhưng ngược hướng. Hướng phụ thuộc cách điểm chạy khi $t$ tăng.

Hướng không phải lúc nào cũng giữ nguyên suốt đường cong.

Với $x=\cos t,\ y=\cos^2 t$ , $0\le t\le 2\pi$ , điểm đi từ $(1,1)$ sang $(-1,1)$ rồi quay lại, vẽ cung $y=x^2$ hai lần. Tại $t=\pi$ , cả hai đạo hàm bằng 0 và đổi dấu.

Độ dốc $\dfrac{dy}{dx}$ không cho biết hướng chuyển động.

Đảo chiều thì $\dfrac{dx}{dt}$ và $\dfrac{dy}{dt}$ cùng đổi dấu nên thương không đổi. Phải xét riêng dấu của từng đạo hàm.

The graph, or the equation after eliminating the parameter, does not show the orientation.

The pairs $x=\cos t,\ y=\pm\sin t$ both trace the circle $x^2+y^2=1$ but in opposite directions. The orientation depends on how the point moves as $t$ increases.

The orientation does not always stay the same along the entire curve.

For $x=\cos t,\ y=\cos^2 t$ with $0\le t\le 2\pi$ , the point moves from $(1,1)$ to $(-1,1)$ and then back, tracing the arc $y=x^2$ twice. At $t=\pi$ , both derivatives equal 0 and change sign.

The slope $\dfrac{dy}{dx}$ does not tell you the direction of motion.

When the direction reverses, $\dfrac{dx}{dt}$ and $\dfrac{dy}{dt}$ both change sign, so their quotient stays the same. You must check the sign of each derivative separately.

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Khi đề yêu cầu vẽ hoặc chỉ hướng, phải vẽ mũi tên.

Ghi thêm giá trị $t$ ở điểm đầu và điểm cuối. Phần chấm điểm thường có một ý riêng cho hướng. Lập bảng khoảng bốn giá trị $t$ , gồm cả hai đầu mút.

Sang phải hay trái thì xét $\dfrac{dx}{dt}$ ; lên hay xuống thì xét $\dfrac{dy}{dt}$ .

Nêu dấu kèm giá trị tại thời điểm đề cho, ví dụ "since $\dfrac{dx}{dt}<0$ , the particle moves left". Kết luận không dựa vào dấu đạo hàm thường không được điểm.

When a question asks you to sketch the curve or show its orientation, draw arrows on the curve.

Also label $t$ at the starting and ending points. Scoring guidelines often award a separate point for orientation. Make a table of about four values of $t$ , including both endpoints.

Use $\dfrac{dx}{dt}$ to decide whether the point moves right or left, and $\dfrac{dy}{dt}$ to decide whether it moves up or down.

State the sign with its value at the given time, for example "since $\dfrac{dx}{dt}<0$ , the particle moves left". A conclusion that does not rely on the sign of a derivative usually earns no credit.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐịnh nghĩa và đạo hàm phương trình tham sốPhương trình tham số, tọa độ cực & hàm vectơ · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termBài toán chuyển động với hàm tham số và hàm vectơPhương trình tham số, tọa độ cực & hàm vectơ · khoácourse AP Calculus BC

Dẫn tớiLeads tođộ dài cungarc length vectơ vị tríposition vector

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

đường cong tham sốparametric curve

Khác nhau ở đâuHow they differĐường cong tham số là tập các điểm

(x(t),y(t))

được vẽ ra. Hướng là chiều đi qua các điểm ấy khi

t

tăng.

Hay nhầm khiMixed up whenHai tham số khác nhau có thể cho cùng một hình nhưng ngược hướng, ví dụ

(\cos t,\sin t)

và

(\cos t,-\sin t)

. Khi đề hỏi chiều chuyển động thì phải kiểm tra theo

t

tăng, không chỉ nhìn hình.

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 824, 849, 1166.