AP Calculus BC

vectơvector

vectorVietnamese: vectơ

Vectơ (vector) là đại lượng toán học được xác định bởi cả độ lớn lẫn hướng, thường biểu diễn bằng một mũi tên hoặc một bộ số có thứ tự.A vector is a mathematical quantity with both magnitude and direction, usually represented by an arrow or an ordered list of numbers.

Trực giác: Vectơ giống như một chỉ dẫn đường đi kiểu "đi 5 km về hướng đông bắc": thiếu quãng đường hay thiếu hướng thì đều không đến được nơi cần đến.Intuition: A vector is like a set of directions such as "go 5 km northeast": without the distance or without the direction, you cannot reach your destination.

Công thức chínhKey formula

\|\vec{v}\|=\sqrt{a^2+b^2}

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Vectơ (vector) cho biết cả độ lớn lẫn hướng, tức là "bao nhiêu" và "về đâu". Với $\vec{v}=\langle a,b\rangle$ ( $a$ , $b$ là hai thành phần), độ dài của $\vec{v}$ ký hiệu là $\|\vec{v}\|$ và bằng $\sqrt{a^2+b^2}$ . Ví dụ $\langle 3,4\rangle$ là đi sang phải $3$ , lên trên $4$ ; độ dài của nó là $\sqrt{3^2+4^2}=5$ . Hai vectơ bằng nhau khi cùng độ lớn và cùng hướng. Cộng vectơ và nhân vectơ với một số đều làm theo từng thành phần; số âm đảo hướng.

Trong AP Calculus BC, vị trí, vận tốc, gia tốc đều là vectơ. Ta đạo hàm hoặc tích phân từng thành phần. Tốc độ chỉ là một số, bằng độ dài của vectơ vận tốc.

A vector gives both magnitude and direction, that is, "how much" and "which way." For $\vec{v}=\langle a,b\rangle$ , where $a$ and $b$ are its two components, the magnitude of $\vec{v}$ is written $\|\vec{v}\|$ and equals $\sqrt{a^2+b^2}$ . For example, $\langle 3,4\rangle$ means going $3$ units right and $4$ units up, so its magnitude is $\sqrt{3^2+4^2}=5$ . Two vectors are equal when they have the same magnitude and the same direction. Adding vectors and multiplying a vector by a scalar are both done component by component, and a negative scalar reverses the direction.

In AP Calculus BC, position, velocity, and acceleration are all vectors. You differentiate or integrate each component separately. Speed is just a single number, equal to the magnitude of the velocity vector.

Ký hiệuNotation

• $\mathbf{v}$ hoặc $\vec{v}$ là vectơ
• $\langle a,b\rangle$ là dạng thành phần
• $|\mathbf{v}|$ là độ lớn
• $\mathbf{r}(t)=\langle x(t),y(t)\rangle$ là hàm vectơ vị trí.

Giải nghĩa công thứcFormula breakdown1 công thức1 formula

\htmlClass{fp-2}{\|\vec{v}\|}=\htmlClass{fp-1}{\sqrt{\htmlClass{fp-0}{a^2+b^2}}}

Tính độ dài vectơ $\langle a,b\rangle$ ; với chuyển động tham số, lấy $a=x'(t)$ , $b=y'(t)$ để ra tốc độ. Trong không gian thêm $c^2$ .This computes the magnitude of the vector $\langle a,b\rangle$ . For parametric motion, take $a=x'(t)$ and $b=y'(t)$ to get the speed. In three dimensions, add $c^2$ under the square root.

Trong đóWhere

\vec{v}

vectơ đang xét, viết dưới dạng thành phần

\langle a,b\rangle

a

thành phần theo phương ngang (trục

x

) của vectơ

b

thành phần theo phương thẳng đứng (trục

y

) của vectơ

\|\vec{v}\|

độ dài của vectơ

\vec{v}

, luôn không âm

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Đạo hàm của vectơ vị trí là vectơ, không phải một số.

Vị trí là $\langle x(t),y(t)\rangle$ . Đạo hàm từng thành phần ra vận tốc, đạo hàm thêm lần nữa ra gia tốc.

$\dfrac{dy}{dx}$ không phải vận tốc hay gia tốc.

Vận tốc là $\langle x'(t),y'(t)\rangle$ , gia tốc là $\langle x''(t),y''(t)\rangle$ . Còn $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y'(t)}{x'(t)}$ là hệ số góc tiếp tuyến, khi $x'(t)\neq 0$ .

Tích phân vectơ vận tốc chỉ cho độ dời, chưa phải vị trí.

Độ dời là sự thay đổi vị trí. Muốn có vị trí, phải cộng thêm vị trí đã biết ở thời điểm đầu.

The derivative of a position vector is a vector, not a single number.

Position is $\langle x(t),y(t)\rangle$ ; differentiating each component gives velocity, and differentiating once more gives acceleration.

$\dfrac{dy}{dx}$ is not velocity or acceleration.

Velocity is $\langle x'(t),y'(t)\rangle$ and acceleration is $\langle x''(t),y''(t)\rangle$ , whereas $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y'(t)}{x'(t)}$ is the slope of the tangent line, defined when $x'(t)\neq 0$ .

Integrating the velocity vector gives only displacement, not position.

Displacement is the change in position, so to find position you must add the known initial position.

Mẹo phòng thiExam tips1 mẹo1 tip

Đáp án vectơ phải ghi đủ cả hai thành phần trong $\langle\ ,\ \rangle$ .

Với gia tốc, ghi $a(t)=\langle x''(t),y''(t)\rangle$ trước, rồi thay giá trị $t$ . Chỉ ghi một thành phần hoặc một số thì mất điểm.

Write a vector answer with both components inside $\langle\ ,\ \rangle$ .

For acceleration, first write $a(t)=\langle x''(t),y''(t)\rangle$ , then substitute the value of $t$ . Giving only one component or a single number loses credit.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

đầu thế kỷ 19 (khái niệm); 1901 (ký hiệu và thuật ngữ được chuẩn hóa)Caspar WesselJean Robert ArgandCarl Friedrich GaussAugust Ferdinand MöbiusJ. Willard GibbsOliver HeavisideEdwin Bidwell Wilson

Đầu thế kỷ 19, Wessel, Argand và Gauss biểu diễn số phức bằng hình học, đặt nền cho vectơ; năm 1901 Gibbs và Wilson chuẩn hóa ký hiệu, thuật ngữ.

In the early 19th century, Wessel, Argand, and Gauss represented complex numbers geometrically, laying the groundwork for vectors. In 1901, Gibbs and Wilson standardized the notation and terminology.

Vì sao mang đúng cái tên này? Từ "vector" bắt nguồn từ chữ Latin vectus, nghĩa là "mang, chở". Tên gọi này gắn với gốc gác vật lý của khái niệm: thiên văn và các ứng dụng vật lý là động lực đưa đến ý tưởng một đại lượng gồm độ lớn và hướng, như lực hay vận tốc. Điều đáng chú ý là ý tưởng đã có từ trước khi tên gọi hoàn thiện. Năm 1827, Möbius đã dùng các đoạn thẳng có hướng (directed line segments) ký hiệu bằng chữ cái, cộng chúng với nhau và nhân chúng với một số thực, tức là "vectơ trong mọi thứ trừ cái tên". Về sau, phần lớn ký hiệu và thuật ngữ vectơ mà ta dùng ngày nay được Gibbs và Wilson thiết lập trong cuốn sách xuất bản năm 1901, và từ đó giải tích vectơ (vector calculus) có được diện mạo quen thuộc.

Nguồn đối chiếuSources

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐịnh nghĩa & đạo hàm hàm vectơPhương trình tham số, tọa độ cực & hàm vectơ · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTích phân hàm vectơPhương trình tham số, tọa độ cực & hàm vectơ · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termBài toán chuyển động với hàm tham số và hàm vectơPhương trình tham số, tọa độ cực & hàm vectơ · khoácourse AP Calculus BC

Cần trướcLearn firstthành phần của vectơcomponent

Dẫn tớiLeads tohàm vectơvector-valued function vectơ vận tốcvelocity vector vectơ gia tốcacceleration vector

Liên quanRelatedđộ lớnmagnitude tốc độspeed

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

tốc độspeed

Khác nhau ở đâuHow they differVectơ vận tốc có cả độ lớn lẫn hướng, viết dưới dạng cặp thành phần. Tốc độ chỉ là một số không âm, bằng độ lớn của vectơ vận tốc.

Hay nhầm khiMixed up whenĐề hỏi "speed" thì phải tính

\sqrt{(x')^2+(y')^2}

chứ không trả lời bằng cặp

\langle x', y'\rangle

; nhiều thí sinh nhầm hai kết quả này.

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 14–15, 19.