AP Calculus BCAP Calculus AB

khối tròn xoaysolid of revolution

solid of revolutionVietnamese: khối tròn xoay

Còn gọi:Also called: volume of revolution

Khối tròn xoay (solid of revolution) là vật thể sinh ra khi quay một miền phẳng quanh một đường thẳng cùng mặt phẳng, gọi là trục quay.A solid of revolution is the solid formed when a plane region is rotated about a straight line in the same plane, called the axis of revolution.

Trực giác: Dán một miếng bìa phẳng sát cây que thẳng, rồi xoay que thật nhanh: miếng bìa quét ra một khối.Intuition: Tape a flat piece of cardboard against a straight stick, then spin the stick very fast: the cardboard sweeps out a solid.

Công thức chínhKey formula

V=\int_a^b \pi\left([R(x)]^2-[r(x)]^2\right)\,dx

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Khối tròn xoay là phần không gian mà một miền phẳng quét qua khi quay một vòng quanh trục quay. Ví dụ: quay hình chữ nhật $3\times 2$ quanh cạnh dài $3$ được hình trụ. Trục không cắt xuyên qua miền.

Cắt khối thành các lát mỏng vuông góc với trục quay. Mỗi lát là đĩa, hoặc vành khuyên (đĩa khoét lỗ tròn ở giữa). Ở công thức đầu, $R(x)$ là bán kính ngoài, $r(x)$ là bán kính trong; miền sát trục thì $r=0$ . Công thức thứ hai (vỏ trụ) dùng khi quay quanh $Oy$ , miền ở bên phải trục ( $0\le a<b$ ); miền bên trái thì thay $x$ bằng $|x|$ ; $h(x)$ là chiều cao miền tại $x$ .

A solid of revolution is the region of space swept out when a plane region makes one full rotation about the axis of revolution. For example, rotating a $3\times 2$ rectangle about its side of length $3$ produces a cylinder. The axis does not cut through the region.

To find the volume, slice the solid into thin pieces perpendicular to the axis of revolution. Each slice is a disk or a washer (a disk with a circular hole in the middle). In the first formula, $R(x)$ is the outer radius and $r(x)$ is the inner radius; if the region touches the axis, then $r=0$ . The second formula (cylindrical shells) is used when rotating about the $y$ -axis with the region to the right of the axis ( $0\le a<b$ ); if the region is to the left, replace $x$ with $|x|$ . Here $h(x)$ is the height of the region at $x$ .

Ký hiệuNotation

• $V=\pi\int_a^b [f(x)]^2\,dx$ (đĩa, quay quanh trục $Ox$ )
• $V=\pi\int_a^b (R^2-r^2)\,dx$ (vành khăn)
• $V=2\pi\int_a^b (\text{bán kính})(\text{chiều cao})\,dx$ (vỏ trụ).

Đơn vịUnitsĐơn vị thể tích: đơn vị độ dài mũ ba (ví dụ cm³, m³).

Công thức chi tiếtFormula details2 công thức2 formulas

V=\htmlClass{fp-2}{\int_a^b \htmlClass{fp-1}{\pi\htmlClass{fp-0}{\left([R(x)]^2-[r(x)]^2\right)}}\,dx}

Dùng khi lát cắt vuông góc trục quay là vành khuyên; miền sát trục thì $r(x)=0$ và còn lại phương pháp đĩa.Use this when the cross-section perpendicular to the axis of revolution is a washer; if the region touches the axis, then $r(x)=0$ and the formula reduces to the disk method.

Trong đóWhere

V

thể tích của khối tròn xoay

R(x)

bán kính ngoài, tức khoảng cách từ trục quay đến biên xa hơn của miền

r(x)

bán kính trong, tức khoảng cách từ trục quay đến biên gần hơn của miền

a,\ b

hai cận của đoạn mà miền phẳng trải ra theo trục

x

V=\htmlClass{fp-2}{\int_a^b \htmlClass{fp-0}{2\pi x}\,\htmlClass{fp-1}{h(x)}\,dx}

Phương pháp vỏ trụ: dùng khi quay quanh trục thẳng đứng, nhất là khi đĩa buộc chia hai tích phân; với trục $x=k$ , thay $x$ bằng $|x-k|$ .This is the shell method. Use it when rotating about a vertical axis, especially when the disk method would force you to split the volume into two integrals; for an axis $x=k$ , replace $x$ with $|x-k|$ .

Trong đóWhere

V

thể tích của khối tròn xoay

x

bán kính của vỏ trụ, tức khoảng cách từ dải đến trục quay

h(x)

chiều cao của vỏ trụ tại vị trí

x

a,\ b

hai cận của miền theo trục

x

, đo từ trục quay

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Vành khuyên là hiệu hai bình phương, không phải bình phương của hiệu.

Diện tích vành khuyên là $\pi R^2-\pi r^2$ , nên $V=\pi\int_a^b(R^2-r^2)\,dx$ . Các dạng $\pi\int(R-r)^2\,dx$ và $\pi\left(\int R\,dx\right)^2$ đều sai.

Bán kính đo từ trục quay, không phải từ trục hoành.

Quay đường $y=f(x)$ quanh $y=k$ thì bán kính là khoảng cách $|f(x)-k|$ , không phải $f(x)$ . Chẳng hạn quay quanh $y=-1$ , với $f(x)\ge -1$ , thì bán kính là $f(x)+1$ .

Quay quanh $Oy$ bằng đĩa hoặc vành khuyên thì tích phân theo $y$ , không theo $x$ .

Lát cắt nằm ngang nên bán kính đo theo chiều ngang. Miền giữa $Oy$ và $x=g(y)\ge 0$ , với $y$ từ $c$ đến $d$ : $V=\pi\int_c^d g(y)^2\,dy$ . Miền giữa $x=g_1(y)$ và $x=g_2(y)$ , $0\le g_1\le g_2$ : $V=\pi\int_c^d\left(g_2^2-g_1^2\right)dy$ .

The area of a washer is a difference of two squares, not the square of a difference.

The area is $\pi R^2-\pi r^2$ , so $V=\pi\int_a^b(R^2-r^2)\,dx$ . The forms $\pi\int(R-r)^2\,dx$ and $\pi\left(\int R\,dx\right)^2$ are both incorrect.

The radius is measured from the axis of revolution, not from the $x$ -axis.

When the curve $y=f(x)$ is rotated about $y=k$ , the radius is the distance $|f(x)-k|$ , not $f(x)$ . For example, when rotating about $y=-1$ with $f(x)\ge -1$ , the radius is $f(x)+1$ .

When using disks or washers about the $y$ -axis, integrate with respect to $y$ , not $x$ .

The slices are horizontal, so the radius is measured horizontally. For the region between the $y$ -axis and $x=g(y)\ge 0$ , with $y$ from $c$ to $d$ : $V=\pi\int_c^d g(y)^2\,dy$ . For the region between $x=g_1(y)$ and $x=g_2(y)$ with $0\le g_1\le g_2$ : $V=\pi\int_c^d\left(g_2^2-g_1^2\right)dy$ .

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Viết nguyên tích phân, có cận và $dx$ (hoặc $dy$ ), trước khi bấm máy.

Điểm thường chia cho phần thiết lập (cận, bán kính, $\pi$ , bình phương) và phần kết quả. Nếu cận là giao điểm hai đường cong, hãy ghi phương trình đã giải và các nghiệm.

Phác miền và vẽ một đoạn mẫu vuông góc với trục quay (cho đĩa, vành khuyên).

Đầu xa trục cho bán kính ngoài $R$ , đầu gần trục cho bán kính trong $r$ . Đổi chỗ hai bán kính sẽ ra thể tích âm. Hình vẽ cho biết tích phân theo $x$ hay $y$ .

Write out the full integral, including the limits and $dx$ (or $dy$ ), before using a calculator.

Points are usually split between the setup (limits, radii, $\pi$ , squaring) and the final answer. If the limits are the intersection points of two curves, show the equation you solved and its solutions.

Sketch the region and draw a sample segment perpendicular to the axis of revolution (for disks and washers).

The end farther from the axis gives the outer radius $R$ , and the end nearer the axis gives the inner radius $r$ . Swapping the two radii produces a negative volume. The sketch also shows whether to integrate with respect to $x$ or $y$ .

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCHay gặpCommon

Tần suất trong đề AP Calculus ABHow often it shows up on AP Calculus ABHay gặpCommon

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

DionysodorosBonaventura Cavalieri

Năm 1635, Bonaventura Cavalieri công bố chuyên luận về phương pháp bất khả phân, được coi là tiền thân của cách cắt khối thành lát mỏng để tính thể tích.

In 1635, Bonaventura Cavalieri published his treatise on the method of indivisibles, regarded as a forerunner of slicing a solid into thin pieces to compute volume.

Vì sao mang đúng cái tên này? Tên gọi mô tả đúng cách tạo ra khối. Ta lấy một đường cong, một đường thẳng hay một miền phẳng rồi quay nó quanh một trục. Phần bề mặt do chuyển động quay quét ra gọi là mặt tròn xoay, còn phần không gian mà mặt ấy bao kín gọi là khối tròn xoay. Vì vậy, chữ "tròn xoay" nói về chính phép quay quanh trục, và người học chỉ cần hình dung phép quay ấy là hiểu được tên.

Nguồn đối chiếuSources

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termThể tích khối tròn xoay bằng phương pháp đĩaỨng dụng của tích phân · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termThể tích khối tròn xoay khi quay quanh trục khác (không phải trục toạ độ)Ứng dụng của tích phân · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termThể tích khối tròn xoay bằng phương pháp vành khăn quanh trục x hoặc trục yỨng dụng của tích phân · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termThể tích khối tròn xoay bằng phương pháp đĩaỨng dụng của tích phân · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termThể tích khối tròn xoay khi quay quanh trục khác (không phải trục toạ độ)Ứng dụng của tích phân · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termThể tích khối tròn xoay bằng phương pháp vành khăn quanh trục x hoặc trục yỨng dụng của tích phân · khoácourse AP Calculus AB

Cần trướcLearn firsttích phân xác địnhdefinite integral

Dẫn tớiLeads tophương pháp đĩadisk method phương pháp vành khuyênwasher method

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

phương pháp đĩadisk method

Khác nhau ở đâuHow they differKhối tròn xoay là vật thể ba chiều sinh ra khi quay một miền phẳng quanh trục. Phương pháp đĩa là cách tính thể tích của vật thể ấy khi nó đặc.

Hay nhầm khiMixed up whenĐề hỏi "thể tích của khối tròn xoay" nhưng thí sinh tưởng phải dùng ngay công thức đĩa, trong khi miền quay cách xa trục thì khối có lỗ và phải dùng vành khuyên.

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 485, 498, 583.