AP Calculus BCAP Calculus AB

phương pháp vành khuyênwasher method

washer methodVietnamese: phương pháp vành khuyên

Phương pháp vành khuyên (washer method) là cách tính thể tích khối tròn xoay có lỗ rỗng bằng tích phân các lát cắt hình vành khuyên.The washer method is a way to find the volume of a solid of revolution that has a hole in it by integrating the areas of washer-shaped cross sections.

Trực giác: Xếp chồng nhiều chiếc vòng đệm (long đen) mỏng, mỗi chiếc có lỗ ở giữa. Cộng thể tích từng vòng đệm thì được thể tích cả khối.Intuition: Picture a stack of many thin washers, each with a hole in the middle. Adding the volumes of the individual washers gives the volume of the whole solid.

Công thức chínhKey formula

V=\pi\int_a^b\left([R(x)]^2-[r(x)]^2\right)dx

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Phương pháp vành khuyên tính thể tích khối tròn xoay có lỗ rỗng bên trong. Lỗ xuất hiện khi giữa miền phẳng và trục quay có khoảng trống. Cắt khối vuông góc với trục quay, mỗi lát là một vành khuyên. Gọi $R$ là bán kính vòng tròn ngoài, $r$ là bán kính vòng tròn trong, cả hai đo từ trục quay. Diện tích một lát là $\pi(R^2-r^2)$ . Cộng các lát bằng tích phân.

Ví dụ: quay miền giữa $y=1$ và $y=2$ , với $0\le x\le 3$ , quanh trục $Ox$ . Khi đó $R=2$ , $r=1$ , nên $V=\pi\int_0^3(4-1)\,dx=9\pi$ . Khi $r=0$ , công thức rút về phương pháp đĩa (disk method).

The washer method finds the volume of a solid of revolution with a hollow interior. A hole appears when there is a gap between the planar region and the axis of rotation. Slicing the solid perpendicular to the axis of rotation gives cross sections that are washers (annuli). Let $R$ be the outer radius and $r$ the inner radius, both measured from the axis of rotation. Each slice has area $\pi(R^2-r^2)$ , and integrating adds up all the slices.

Example: rotate the region between $y=1$ and $y=2$ , for $0\le x\le 3$ , about the $x$ -axis. Then $R=2$ and $r=1$ , so $V=\pi\int_0^3(4-1)\,dx=9\pi$ . When $r=0$ , the formula reduces to the disk method.

Ký hiệuNotation

• $V=\pi\int_a^b \left([R(x)]^2-[r(x)]^2\right)dx$ , trong đó $R$ là bán kính ngoài, $r$ là bán kính trong, cùng đo từ trục quay
•với trục quay là trục tung thì đổi biến thành $y$ và $dy$ .

Đơn vịUnitsĐơn vị thể tích (đơn vị độ dài lập phương), ví dụ cm³ hoặc m³.

Giải nghĩa công thứcFormula breakdown1 công thức1 formula

V=\htmlClass{fp-3}{\pi\int_a^b\htmlClass{fp-2}{\left(\htmlClass{fp-0}{[R(x)]^2}-\htmlClass{fp-1}{[r(x)]^2}\right)}dx}

Dùng khi quay miền giữa hai đường cong quanh trục $x$ hoặc $y=k$ tạo khối rỗng; quanh trục $y$ thì tích phân theo $y$ .Use this when rotating the region between two curves about the $x$ -axis or a line $y=k$ produces a hollow solid; for rotation about the $y$ -axis, integrate with respect to $y$ .

Trong đóWhere

V

thể tích của khối tròn xoay — đơn vị độ dài khối

R(x)

bán kính ngoài (outer radius): khoảng cách từ trục quay đến đường cong xa trục hơn, tại hoành độ

x

r(x)

bán kính trong (inner radius): khoảng cách từ trục quay đến đường cong gần trục hơn, tại hoành độ

x

a,\ b

hai cận của tích phân, là khoảng của

x

mà miền phẳng trải qua

dx

bề dày vô cùng nhỏ của mỗi lát, đo dọc theo trục quay

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Diện tích vành khuyên là $\pi(R^2-r^2)$ , không phải $\pi(R-r)^2$ .

Phải bình phương từng bán kính trước rồi mới lấy hiệu, vì $(R-r)^2 \neq R^2-r^2$ .

Bán kính ngoài là bán kính xa trục quay hơn, không phải lúc nào cũng là hàm nằm trên.

Ví dụ trục quay là $y=5$ và cả hai đồ thị nằm dưới đường này: đồ thị thấp hơn xa trục hơn nên là $R$ . Hãy vẽ hình rồi so sánh khoảng cách thật.

Khi trục quay là $y=k$ , bán kính là khoảng cách tới trục, không phải giá trị hàm số.

Vùng nằm phía trên $y=k$ thì lấy giá trị hàm trừ $k$ ; vùng nằm phía dưới thì lấy $k$ trừ giá trị hàm. Quên trừ $k$ hoặc trừ sai chiều là lỗi hay gặp.

The area of a washer is $\pi(R^2-r^2)$ , not $\pi(R-r)^2$ .

Square each radius first and then subtract, because $(R-r)^2 \neq R^2-r^2$ .

The outer radius belongs to the curve farther from the axis of rotation, not always the upper function.

For example, if the axis is $y=5$ and both graphs lie below it, the lower graph is farther from the axis and gives $R$ . Sketch the region and compare the actual distances.

When the axis of rotation is $y=k$ , a radius is a distance to the axis, not a function value.

For a region above $y=k$ , subtract $k$ from the function value; for a region below $y=k$ , subtract the function value from $k$ . Forgetting to subtract $k$ , or subtracting in the wrong order, is a common error.

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Viết tích phân đầy đủ trước khi bấm máy tính.

Bài tự luận AP chấm riêng cận, biểu thức dưới dấu tích phân và $\pi$ . Đáp số đúng mà thiếu dòng $\pi\int_a^b\left(R^2-r^2\right)dx$ vẫn mất điểm; hãy thay $R$ , $r$ bằng biểu thức cụ thể theo $x$ .

Vẽ miền, trục quay và một lát cắt mẫu trước khi viết.

Đánh dấu $R$ và $r$ bằng hai đoạn nối từ trục quay, ghi độ dài từng đoạn. Cách này tránh nhầm bán kính ngoài với bán kính trong và cho thấy miền nằm phía nào của trục.

Write out the full integral before using your calculator.

AP free-response questions award separate points for the limits, the integrand, and $\pi$ . A correct final answer without the setup $\pi\int_a^b\left(R^2-r^2\right)dx$ can still lose points, so substitute $R$ and $r$ as specific expressions in $x$ .

Sketch the region, the axis of rotation, and a representative slice before you write anything.

Mark $R$ and $r$ as two segments drawn from the axis of rotation, and label the length of each. This keeps you from mixing up the outer and inner radii and shows which side of the axis the region lies on.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCHay gặpCommon

Tần suất trong đề AP Calculus ABHow often it shows up on AP Calculus ABHay gặpCommon

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

Johannes Kepler

Không rõ người đặt ra hay năm ra đời; tiền thân là việc Johannes Kepler cắt thùng rượu thành các đĩa mỏng để tính thể tích, tức phương pháp đĩa.

The inventor and the year are unknown. The method grew out of Johannes Kepler's practice of cutting a wine barrel into thin disks to find its volume, which is the disk method.

Nguồn đối chiếuSources

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termThể tích khối tròn xoay bằng phương pháp vành khăn quanh trục x hoặc trục yỨng dụng của tích phân · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termThể tích khối tròn xoay bằng phương pháp vành khăn quanh trục khácỨng dụng của tích phân · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termThể tích khối tròn xoay bằng phương pháp đĩaỨng dụng của tích phân · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termThể tích khối tròn xoay bằng phương pháp vành khăn quanh trục x hoặc trục yỨng dụng của tích phân · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termThể tích khối tròn xoay bằng phương pháp vành khăn quanh trục khácỨng dụng của tích phân · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termThể tích khối tròn xoay bằng phương pháp đĩaỨng dụng của tích phân · khoácourse AP Calculus AB

Cần trướcLearn firstkhối tròn xoaysolid of revolution tích phân xác địnhdefinite integral

Dẫn tớiLeads tokhối tròn xoaysolid of revolution

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

phương pháp đĩadisk method

Khác nhau ở đâuHow they differPhương pháp đĩa dùng mặt cắt là hình tròn đặc với một bán kính duy nhất. Phương pháp vành khuyên dùng mặt cắt có lỗ, nên cần bán kính ngoài và bán kính trong.

Hay nhầm khiMixed up whenKhi miền bị giới hạn bởi hai đường cong hoặc trục quay cách miền một khoảng, mặt cắt có lỗ, nên phải dùng vành khuyên thay vì đĩa, và công thức là

\pi\int_a^b (R^2-r^2)\,dx

chứ không phải

\pi\int_a^b (R-r)^2\,dx

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 1366.