AP Calculus BCAP Calculus AB

thiết diệncross-section

cross-sectionVietnamese: thiết diện

Thiết diện (cross-section) là hình phẳng tạo bởi mặt phẳng cắt vật thể rắn, thường vuông góc với một trục để tính thể tích bằng tích phân.A cross-section is the plane figure formed when a plane cuts through a solid, usually perpendicular to an axis so that volume can be computed with an integral.

Trực giác: Thiết diện giống một lát cắt ngang của ổ bánh mì: xếp hết các lát mỏng lại với nhau thì ra cả ổ.Intuition: A cross-section is like a single slice of a loaf of bread: stack all the thin slices back together and you recover the whole loaf.

Công thức chínhKey formula

V=\int_a^b A(x)\,dx

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Thiết diện (cross-section) là hình phẳng ta thấy khi dùng một mặt phẳng cắt vật rắn. Cắt hướng khác nhau thì ra hình khác nhau: cắt hình trụ vuông góc với trục được hình tròn, cắt chéo được hình elip.

Trong AP Calculus, ta cắt vật vuông góc với trục $x$ . Lát cắt tại $x$ có diện tích $A(x)$ ; cộng chúng bằng tích phân thì ra thể tích $V=\int_a^b A(x)\,dx$ . Em tính $A(x)$ theo đúng hình dạng thiết diện. Hình vuông cạnh $s$ có $A=s^2$ . Nếu miền đáy nằm giữa $y=f(x)$ và $y=g(x)$ với $f(x)\ge g(x)$ , thì $s=f(x)-g(x)$ và $A(x)=\left(f(x)-g(x)\right)^2$ .

A cross-section is the plane figure you see when a plane slices through a solid. Different cutting directions give different shapes: slicing a cylinder perpendicular to its axis gives a circle, while slicing it at an angle gives an ellipse.

In AP Calculus, you slice the solid perpendicular to the $x$ -axis. The slice at $x$ has area $A(x)$ , and adding up these slices with an integral gives the volume $V=\int_a^b A(x)\,dx$ . Compute $A(x)$ according to the actual shape of the cross-section. A square with side $s$ has area $A=s^2$ . If the base region lies between $y=f(x)$ and $y=g(x)$ with $f(x)\ge g(x)$ , then $s=f(x)-g(x)$ and $A(x)=\left(f(x)-g(x)\right)^2$ .

Ký hiệuNotation

• $A(x)$ là diện tích thiết diện tại vị trí $x$
• $V=\int_a^b A(x)\,dx$ là thể tích
• $s(x)$ là độ dài đoạn cắt của đáy, chẳng hạn $s(x)=f(x)-g(x)$ .

Đơn vịUnitsDiện tích thiết diện $A(x)$ tính bằng đơn vị độ dài bình phương; thể tích $V$ tính bằng đơn vị độ dài lập phương.

Công thức chi tiếtFormula details2 công thức2 formulas

V=\htmlClass{fp-3}{\int_a^b}\htmlClass{fp-2}{\htmlClass{fp-0}{A(x)}\,\htmlClass{fp-1}{dx}}

Dùng khi mọi thiết diện vuông góc với trục $x$ có cùng dạng hình học; biểu diễn $A(x)$ rồi tích phân trên $[a,b]$ .Use this when every cross-section perpendicular to the $x$ -axis has the same geometric shape; express $A(x)$ and integrate over $[a,b]$ .

Trong đóWhere

V

thể tích của vật thể — đơn vị độ dài lập phương

A(x)

diện tích thiết diện vuông góc với trục

x

tại điểm có hoành độ

x

— đơn vị độ dài bình phương

a,\ b

hai cận của tích phân, là hoành độ nơi vật thể bắt đầu và kết thúc

dx

bề dày vô cùng nhỏ của mỗi lát cắt

A(x)=\left(f(x)-g(x)\right)^2

Dùng khi thiết diện là hình vuông dựng trên đoạn nối hai đường cong với $f(x)\ge g(x)$ ; cạnh bằng $f(x)-g(x)$ .Use this when the cross-sections are squares built on the segment between two curves with $f(x)\ge g(x)$ ; the side length equals $f(x)-g(x)$ .

Trong đóWhere

f(x)

đường cong phía trên của miền đáy

g(x)

đường cong phía dưới của miền đáy

f(x)-g(x)

độ dài đoạn cắt qua miền đáy, cũng là cạnh của hình vuông

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Đừng lấy diện tích miền đáy làm $A(x)$ .

Miền đáy chỉ cho độ dài cạnh hoặc đường kính tại mỗi $x$ . Từ độ dài đó, tính $A(x)$ theo hình dạng thiết diện, rồi mới lấy $\int_a^b A(x)\,dx$ .

Với nửa hình tròn dựng trên đáy rộng $w(x)$ , $w(x)$ là đường kính, không phải bán kính.

Bán kính là $w(x)/2$ , nên $A=\frac{\pi}{8}\,w(x)^2$ . Lấy $w(x)$ làm bán kính thì diện tích lớn gấp 4 lần.

Thiết diện hình vuông, miền đáy giữa hai đường cong: cạnh là $f(x)-g(x)$ , không phải $f(x)$ .

Với $f$ nằm trên $g$ , lấy hiệu trước rồi mới bình phương, vì $\left(f(x)-g(x)\right)^2\ne f(x)^2-g(x)^2$ .

Do not use the area of the base region as $A(x)$ .

The base region only gives the side length or diameter at each $x$ . Use that length to find $A(x)$ from the shape of the cross-section, and only then compute $\int_a^b A(x)\,dx$ .

For a semicircle built on a base of width $w(x)$ , $w(x)$ is the diameter, not the radius.

The radius is $w(x)/2$ , so $A=\frac{\pi}{8}\,w(x)^2$ . Treating $w(x)$ as the radius makes the area 4 times too large.

For square cross-sections over a base between two curves, the side is $f(x)-g(x)$ , not $f(x)$ .

When $f$ lies above $g$ , subtract first and then square, because $\left(f(x)-g(x)\right)^2\ne f(x)^2-g(x)^2$ .

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Viết rõ $A(x)$ trước khi lập tích phân.

Bài thiết diện thường có điểm riêng cho biểu thức dưới dấu tích phân và cho cận. Có $A(x)$ đúng thì các bước sau dễ được tính điểm hơn.

Thiết diện vuông góc với trục $y$ thì tích phân theo $dy$ .

Viết đường cong dưới dạng $x$ theo $y$ ; cạnh thiết diện là hiệu hai hàm theo $y$ . Phác nhanh miền và một thiết diện điển hình để chọn đúng biến.

Write $A(x)$ explicitly before setting up the integral.

Cross-section problems usually award separate points for the integrand and for the limits. A correct $A(x)$ makes it easier to earn credit for the later steps.

If the cross-sections are perpendicular to the $y$ -axis, integrate with respect to $dy$ .

Rewrite the curves as $x$ in terms of $y$ ; the side of each cross-section is the difference of the two functions of $y$ . Sketch the region and a typical cross-section quickly to choose the right variable.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Tần suất trong đề AP Calculus ABHow often it shows up on AP Calculus ABThường xuyênVery common

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

DemocritusArchimedesBonaventura CavalieriIsaac NewtonGottfried Wilhelm Leibniz

Democritus xét nghiêm túc đầu tiên việc chia vật thể thành vô số lát cắt nhưng chưa chấp nhận trọn vẹn; Archimedes, Cavalieri, Newton và Leibniz phát triển tiếp.

Democritus was the first to seriously consider cutting a solid into infinitely many slices, but he did not fully embrace the idea; Archimedes, Cavalieri, Newton, and Leibniz developed it further.

Nguồn đối chiếuSources

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termThể tích theo cross section (mặt cắt): hình vuông & chữ nhậtỨng dụng của tích phân · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termThể tích theo thiết diện: tam giác đều và nửa hình trònỨng dụng của tích phân · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termThể tích theo cross section (mặt cắt): hình vuông & chữ nhậtỨng dụng của tích phân · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termThể tích theo thiết diện: tam giác đều và nửa hình trònỨng dụng của tích phân · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termỨng dụng của tích phânỨng dụng của tích phân · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termỨng dụng của tích phânỨng dụng của tích phân · khoácourse AP Calculus AB

Cần trướcLearn firsttích phân xác địnhdefinite integral đồ thị của hàm sốgraph of a function

Dẫn tớiLeads tokhối tròn xoaysolid of revolution

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

phương pháp đĩadisk method

Khác nhau ở đâuHow they differThiết diện tổng quát có thể là hình vuông, tam giác đều, nửa hình tròn hay hình chữ nhật. Phương pháp đĩa chỉ xét thiết diện hình tròn khi quay miền quanh một trục.

Hay nhầm khiMixed up whenĐề cho đáy là miền phẳng và nói thiết diện vuông góc với trục

x

là hình vuông hay tam giác đều, không có phép quay nào. Khi đó phải tự lập

A(x)

từ độ dài cạnh, không dùng

\pi r^2

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 282, 393–394.