AP Calculus BCAP Calculus AB

phương pháp đĩadisk method

disk methodVietnamese: phương pháp đĩa

Còn gọi:Also called: disc method

Phương pháp đĩa (disk method) là cách tính thể tích khối tròn xoay bằng tích phân diện tích các đĩa tròn mỏng vuông góc với trục quay.The disk method is a way to find the volume of a solid of revolution by integrating the areas of thin circular disks perpendicular to the axis of rotation.

Trực giác: Thái củ cà rốt thành lát tròn mỏng: mỗi lát là một đĩa, bán kính mỗi lát khác nhau; cộng các lát ra thể tích cả củ.Intuition: Slice a carrot into thin round pieces: each slice is a disk, and the radii of the slices differ. Adding up the slices gives the volume of the whole carrot.

Công thức chínhKey formula

V=\int_a^b \pi\,[f(x)]^2\,dx

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Phương pháp đĩa cắt khối tròn xoay bằng các mặt phẳng vuông góc với trục quay. Mỗi lát cắt là một đĩa tròn mỏng. Bán kính đĩa là khoảng cách từ đường cong đến trục quay.

Xét miền giữa đồ thị $y=f(x)$ và trục $x$ , với $a\le x\le b$ , quay quanh trục $x$ . Mỗi đĩa có thể tích $\pi[f(x)]^2$ nhân bề dày. Ví dụ $f(x)=\sqrt{x}$ trên $[0;4]$ cho $V=\pi\int_0^4 x\,dx=8\pi$ . Quay quanh trục $y$ thì viết $x=g(y)$ và tích phân theo $y$ . Quay quanh đường $y=k$ thì bán kính là $|f(x)-k|$ . Miền không chạm trục quay thì lát cắt là hình vành khăn, cần phương pháp vành khăn.

The disk method slices a solid of revolution with planes perpendicular to the axis of rotation. Each cross section is a thin circular disk, and its radius is the distance from the curve to the axis of rotation.

Consider the region between the graph of $y=f(x)$ and the $x$ -axis for $a\le x\le b$ , rotated about the $x$ -axis. Each disk has volume $\pi[f(x)]^2$ times its thickness. For example, $f(x)=\sqrt{x}$ on $[0;4]$ gives $V=\pi\int_0^4 x\,dx=8\pi$ . For rotation about the $y$ -axis, write $x=g(y)$ and integrate with respect to $y$ . For rotation about the line $y=k$ , the radius is $|f(x)-k|$ . If the region does not touch the axis of rotation, each cross section is a washer (an annulus), so the washer method is needed.

Ký hiệuNotation

• $V=\pi\int_a^b [R(x)]^2\,dx$ với $R(x)$ là bán kính đĩa tại vị trí $x$
•quay quanh trục $y$ thì $V=\pi\int_c^d [R(y)]^2\,dy$ .

Đơn vịUnitsĐơn vị độ dài lập phương (chẳng hạn cm³, m³).

Công thức chi tiếtFormula details2 công thức2 formulas

V=\htmlClass{fp-3}{\int_a^b \htmlClass{fp-2}{\htmlClass{fp-1}{\pi\,[\htmlClass{fp-0}{f(x)}]^2}\,dx}}

Quay miền giữa $y=f(x)$ và trục $Ox$ (với $a \le x \le b$ ) quanh $Ox$ : khối đặc, không có lỗ rỗng.Rotating the region between $y=f(x)$ and the $x$ -axis (for $a \le x \le b$ ) about the $x$ -axis produces a solid with no hole in it.

Trong đóWhere

V

thể tích của vật thể tròn xoay — đơn vị thể tích

f(x)

hàm số cho bán kính của đĩa tại hoành độ

x

, tức khoảng cách từ đường cong đến trục quay

a,\ b

cận dưới và cận trên của

x

, là hai đầu của miền được quay

dx

bề dày vô cùng nhỏ của mỗi đĩa, đo dọc theo trục quay

V=\int_c^d \pi\,[g(y)]^2\,dy

Quay miền giới hạn bởi $x=g(y)$ quanh trục $Oy$ , với $c \le y \le d$ : giống công thức trên, chỉ đổi vai trò $x$ và $y$ .Rotating the region bounded by $x=g(y)$ about the $y$ -axis, for $c \le y \le d$ , works like the formula above, with the roles of $x$ and $y$ swapped.

Trong đóWhere

V

thể tích của vật thể tròn xoay — đơn vị thể tích

g(y)

bán kính của đĩa tại tung độ

y

, tức khoảng cách từ đường cong đến trục

Oy

c,\ d

cận dưới và cận trên của

y

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Phải bình phương bán kính rồi mới lấy tích phân.

Mỗi đĩa có diện tích $\pi r^2$ , với $r=f(x)$ là bán kính. Vậy $V=\pi\int_a^b [f(x)]^2\,dx$ , khác $\pi\int_a^b f(x)\,dx$ và khác $\pi\left(\int_a^b f(x)\,dx\right)^2$ .

Bán kính là khoảng cách đến trục quay, không phải lúc nào cũng là $f(x)$ .

Quay quanh $y=-1$ thì bán kính là $f(x)+1$ . Quay quanh $y=4$ thì là $4-f(x)$ . Hai công thức này đúng khi miền nằm giữa đường cong và trục quay, nên hãy xác định trục quay trước.

Tích phân theo biến chạy dọc trục quay, và cận phải cùng biến đó.

Quay quanh trục $y$ thì viết $x=g(y)$ và dùng cận của $y$ . Lỗi hay gặp là giữ $g(y)$ nhưng dùng cận của $x$ , hoặc để $dx$ lẫn với biểu thức theo $y$ .

You must square the radius before integrating.

Each disk has area $\pi r^2$ , where $r=f(x)$ is the radius, so $V=\pi\int_a^b [f(x)]^2\,dx$ . This differs from both $\pi\int_a^b f(x)\,dx$ and $\pi\left(\int_a^b f(x)\,dx\right)^2$ .

The radius is the distance to the axis of rotation, which is not always $f(x)$ .

For rotation about $y=-1$ , the radius is $f(x)+1$ ; for rotation about $y=4$ , it is $4-f(x)$ . These formulas hold when the region lies between the curve and the axis of rotation, so identify the axis first.

The variable of integration runs along the axis of rotation, and the limits must be values of that same variable.

For rotation about the $y$ -axis, write $x=g(y)$ and use limits in $y$ . A common error is keeping $g(y)$ but using $x$ -limits, or mixing $dx$ with an expression in $y$ .

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Vẽ phác miền, một đĩa đại diện và ghi bán kính trước khi lập tích phân.

Bài tự luận thường chấm điểm ở bước lập tích phân. Hãy viết tích phân chưa tính rồi mới ghi kết quả số.

Chỉ làm tròn ở bước cuối, lấy ba chữ số thập phân.

Làm tròn giữa chừng có thể làm lệch đáp số. Thể tích không thể âm. Nếu ra số âm, hãy kiểm tra cận: cận dưới phải nhỏ hơn cận trên.

Sketch the region and one representative disk, and label its radius before setting up the integral.

Free-response questions often award points for the setup. Write the unevaluated integral first, then give the numerical result.

Round only at the final step, to three decimal places.

Rounding in the middle of a calculation can throw off the answer. A volume cannot be negative, so if you get a negative value, check your limits: the lower limit must be less than the upper limit.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCHay gặpCommon

Tần suất trong đề AP Calculus ABHow often it shows up on AP Calculus ABHay gặpCommon

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

ibn al-Haytham

Nhà toán học ibn al-Haytham (965–1040) xem vật thể tạo bởi quay miền dưới một đường cong quanh trục là tổng của vô số đĩa mỏng để tính thể tích.

The mathematician ibn al-Haytham (965–1040) treated the solid formed by rotating the region under a curve about an axis as the sum of infinitely many thin disks in order to compute its volume.

Vì sao mang đúng cái tên này? Tên "phương pháp đĩa" mô tả đúng hình ảnh hình học của cách làm. Khi quay một miền phẳng quanh trục, vật thể tạo thành được xem như một chồng gồm vô số lát cắt vuông góc với trục, mỗi lát mỏng đến mức xem như một chiếc đĩa tròn. Thể tích của vật thể khi đó là tổng thể tích của tất cả các đĩa này, và phép lấy tổng ấy chính là tích phân. Vì vậy, tên gọi đi thẳng từ hình dạng của từng phần tử nhỏ mà ta cộng lại. Có thể thấy một mạch tương tự ở chữ "calculus" trong tên cả ngành. Trong tiếng Latin, từ này nghĩa là "viên sỏi nhỏ", là dạng thu nhỏ của calx (đá). Người xưa dùng sỏi để đếm quãng đường, kiểm phiếu bầu và làm tính trên bàn tính, nên từ này dần mang nghĩa "phương pháp tính toán". Theo nguồn tham khảo, trong tiếng Anh từ này đã được dùng với nghĩa ấy ít nhất từ năm 1672, tức vài năm trước khi Leibniz và Newton công bố công trình của mình. Nguồn không cho biết chính xác ai đặt tên "disk method" hay vào thời điểm nào, nên không thể nói thêm về lai lịch riêng của cụm từ này.

Nguồn đối chiếuSources

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termThể tích khối tròn xoay bằng phương pháp đĩaỨng dụng của tích phân · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termThể tích khối tròn xoay khi quay quanh trục khác (không phải trục toạ độ)Ứng dụng của tích phân · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termThể tích khối tròn xoay bằng phương pháp đĩaỨng dụng của tích phân · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termThể tích khối tròn xoay khi quay quanh trục khác (không phải trục toạ độ)Ứng dụng của tích phân · khoácourse AP Calculus AB

Cần trướcLearn firsttích phân xác địnhdefinite integral

Dẫn tớiLeads tođồ thị của hàm sốgraph of a function

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

phương pháp vành khuyênwasher method

Khác nhau ở đâuHow they differPhương pháp đĩa dùng khi miền phẳng sát trục quay nên thiết diện là hình tròn đặc. Phương pháp vành khuyên dùng khi miền cách trục quay nên thiết diện có lỗ rỗng.

Hay nhầm khiMixed up whenKhi quay miền giữa hai đường cong, hoặc quay quanh một đường như

y=-1

mà miền không chạm trục, thí sinh hay dùng đĩa với một bán kính thay vì lấy hiệu bình phương hai bán kính của vành khuyên.

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 484, 1356.