DucklingStudyDucklingStudy

AP Statistics

hiệu hai tỉ lệ

difference of two proportions

Còn gọi: hiệu hai tỉ lệ tổng thể · hiệu hai tỉ lệ mẫu · difference of two proportions

Hiệu hai tỉ lệ là đại lượng p1 − p2 (ước lượng bằng p̂1 − p̂2), đo chênh lệch giữa tỉ lệ thành công của hai tổng thể hoặc hai mẫu độc lập.

Khi cần so sánh mức độ phổ biến của một đặc điểm nào đó giữa hai nhóm — chẳng hạn tỉ lệ ủng hộ một chính sách ở nam so với nữ — người ta không nhìn từng tỉ lệ riêng lẻ mà xét hiệu hai tỉ lệ (difference of two proportions), ký hiệu p1−p2p_1-p_2 ở mức tổng thể. Vì hai tỉ lệ tổng thể hiếm khi biết trước, đại lượng này được ước lượng bằng hiệu hai tỉ lệ mẫu p^1−p^2\hat p_1-\hat p_2, tính từ hai mẫu ngẫu nhiên (random sample) độc lập lấy từ hai tổng thể tương ứng.

Giống như tỉ lệ mẫu p^\hat p, hiệu p^1−p^2\hat p_1-\hat p_2 cũng có phân phối riêng khi lặp lại việc lấy mẫu nhiều lần. Khi hai mẫu đủ lớn để thỏa điều kiện số đếm lớn, tức n1p^1,n1(1−p^1),n2p^2,n2(1−p^2)n_1\hat p_1, n_1(1-\hat p_1), n_2\hat p_2, n_2(1-\hat p_2) đều ít nhất 10, phân phối này xấp xỉ chuẩn với

μp^1−p^2=p1−p2,σp^1−p^2=p1(1−p1)n1+p2(1−p2)n2\mu_{\hat p_1-\hat p_2}=p_1-p_2,\qquad \sigma_{\hat p_1-\hat p_2}=\sqrt{\dfrac{p_1(1-p_1)}{n_1}+\dfrac{p_2(1-p_2)}{n_2}}

Do đó, công thức thứ hai cho thấy sai số chuẩn của hiệu hai tỉ lệ được cộng dồn từ độ biến động của từng mẫu, nên mẫu càng nhỏ thì hiệu ước lượng càng dao động mạnh.

Nhờ tính chuẩn xấp xỉ này, hiệu hai tỉ lệ trở thành nền tảng cho hai suy luận thống kê quan trọng: khoảng tin cậy (confidence interval) cho p1−p2p_1-p_2 dùng chính p^1−p^2\hat p_1-\hat p_2 làm tâm. Ngược lại, kiểm định giả thuyết (hypothesis testing) H0:p1=p2H_0: p_1=p_2 lại dùng tỉ lệ gộp p^C\hat p_C để tính sai số chuẩn, vì giả thuyết gốc giả định hai tỉ lệ tổng thể bằng nhau. Vì vậy, sự khác biệt nhỏ này giữa hai bối cảnh — ước lượng và kiểm định — là điểm học sinh dễ nhầm lẫn nhất khi làm bài.

Ký hiệup1−p2p_1-p_2, p^1−p^2\hat p_1-\hat p_2

Trực giác: Giống như so sánh xem đội bóng A hay đội bóng B thắng nhiều trận hơn theo tỉ lệ phần trăm, chứ không chỉ nhìn số trận thắng tuyệt đối.

Công thức

(p^1−p^2)±z∗p^1(1−p^1)n1+p^2(1−p^2)n2\htmlClass{fp-0}{(\hat{p}_1-\hat{p}_2)}\pm \htmlClass{fp-1}{z^*}\htmlClass{fp-3}{\sqrt{\htmlClass{fp-2}{\frac{\hat{p}_1(1-\hat{p}_1)}{n_1}+\frac{\hat{p}_2(1-\hat{p}_2)}{n_2}}}}

dùng khi xây dựng khoảng ước lượng (confidence interval) cho hiệu hai tỉ lệ tổng thể từ hai mẫu độc lập, với điều kiện cỡ mẫu đủ lớn để phân phối lấy mẫu của hiệu hai tỉ lệ xấp xỉ chuẩn.

Trong đó

p^1\hat{p}_1tỉ lệ thành công quan sát được ở mẫu thứ nhấtp^2\hat{p}_2tỉ lệ thành công quan sát được ở mẫu thứ hain1n_1cỡ mẫu thứ nhấtn2n_2cỡ mẫu thứ haiz∗z^*giá trị tới hạn của phân phối chuẩn tắc ứng với độ tin cậy đã chọn
μp^1−p^2=p1−p2,σp^1−p^2=p1(1−p1)n1+p2(1−p2)n2\mu_{\hat{p}_1-\hat{p}_2}=p_1-p_2,\quad \sigma_{\hat{p}_1-\hat{p}_2}=\sqrt{\frac{p_1(1-p_1)}{n_1}+\frac{p_2(1-p_2)}{n_2}}

mô tả phân phối lấy mẫu của thống kê p^1−p^2\hat{p}_1-\hat{p}_2: khi hai mẫu độc lập và điều kiện thành công–thất bại được thỏa ở cả hai nhóm, thống kê này xấp xỉ chuẩn với trung bình bằng p1−p2p_1-p_2 và độ lệch chuẩn như công thức nêu trên.

Trong đó

p1p_1tỉ lệ thật của tổng thể thứ nhấtp2p_2tỉ lệ thật của tổng thể thứ hain1n_1cỡ mẫu thứ nhấtn2n_2cỡ mẫu thứ hai

Khái niệm này sinh ra từ đâu

1900Karl PearsonRonald FisherSaralees NadarajahSamuel Kotz

Khái niệm so sánh hai tỉ lệ được định hình trong thế kỷ 20, khởi đi từ kiểm định khi bình phương (chi-square test) do Karl Pearson đề xuất năm 1900 cho bảng 2×2, rồi được Ronald Fisher bổ sung bằng một kiểm định chính xác công bố năm 1935. Mục tiêu chung là quyết định xem chênh lệch quan sát được giữa hai nhóm là thật hay chỉ do ngẫu nhiên.

Thống kê học từ lâu bị thúc đẩy bởi nhu cầu so sánh đáng tin cậy. Một hãng dược thử thuốc mới so với giả dược, một nhà phân tích chính trị đối chiếu mức ủng hộ giữa hai nhóm cử tri, một nhà giáo dục nhìn tỉ lệ đậu của hai chương trình học — cả ba đều hỏi cùng một câu: khoảng cách giữa hai nhóm có thật, hay chỉ là dao động may rủi? Trước khi giới thống kê dựng được phân phối mẫu của hiệu hai tỉ lệ mẫu, người làm thực nghiệm không có cách chặt chẽ nào để trả lời. Bộ máy lý thuyết ấy hình thành dần trên nền lý thuyết xác suất và định lý giới hạn trung tâm (central limit theorem), và nó vẫn còn được nghiên cứu về sau: năm 2007, Saralees Nadarajah và Samuel Kotz dẫn ra phân phối của hiệu hai tỉ lệ, ghi nhận rằng dạng bài toán này xuất hiện thường xuyên nhất trong nghiên cứu y sinh.

Vì sao mang đúng cái tên này? Cái tên không hề bóng bẩy: nó gọi thẳng tham số mà ta muốn ước lượng, tức p1−p2p_1-p_2. "Tỉ lệ" ở đây là phần trăm cá thể rơi vào một loại trong dữ liệu phân loại, còn "hiệu" nhấn mạnh rằng ta trừ chứ không chia — câu hỏi đặt ra là hai nhóm cách nhau bao nhiêu điểm phần trăm, chứ không phải nhóm này gấp mấy lần nhóm kia. Cách đặt tên ấy giải thích luôn hình dạng công thức: vì hai mẫu độc lập, sai số chuẩn (standard error) của hiệu được ghép từ hai sai số thành phần theo SEp^1−p^2=SEp^12+SEp^22=p1(1−p1)n1+p2(1−p2)n2SE_{\hat{p}_1-\hat{p}_2}=\sqrt{SE^2_{\hat{p}_1}+SE^2_{\hat{p}_2}}=\sqrt{\frac{p_1(1-p_1)}{n_1}+\frac{p_2(1-p_2)}{n_2}} Công thức này nói rằng độ dao động của hiệu hai tỉ lệ mẫu bằng căn bậc hai của tổng hai phương sai riêng, trong đó n1,n2n_1,n_2 là cỡ hai mẫu. Đáng chú ý là dạng ấy giống hệt dạng dùng cho hiệu hai trung bình, nên khi học sinh chuyển từ chương trung bình sang chương tỉ lệ, chỉ có phần bên trong dấu căn thay đổi. Một nhánh tên gọi khác đến từ cách trình bày dữ liệu: khi xếp hai nhóm với hai kết cục thành bảng 2×2 (two-by-two table), cùng một câu hỏi được phát biểu lại thành kiểm định tính độc lập, và đó là lý do kiểm định khi bình phương của Pearson lẫn kiểm định chính xác Fisher (Fisher exact test) — một dạng sớm của kiểm định hoán vị — thường được nhắc chung với hiệu hai tỉ lệ.

Nguồn đối chiếu

Hay hiểu sai

Không được gộp tỉ lệ khi tính khoảng tin cậy cho hiệu hai tỉ lệ.

Sai số chuẩn của hiệu không bằng hiệu hai sai số chuẩn.

Khoảng tin cậy chứa 0 không có nghĩa hai tỉ lệ tổng thể bằng nhau.

Điều kiện số đếm lớn phải kiểm cho từng nhóm riêng, không gộp chung hai mẫu.

Mẹo phòng thi

Viết rõ thứ tự trừ và ký hiệu tham số trước khi bấm máy.

Gọi tên thủ tục và thay số thật vào từng điều kiện.

Đừng chỉ chép kết quả máy tính; phải hiện công thức, giá trị và kết luận có ngữ cảnh.

Tần suất trong đề AP StatisticsThường xuyên

Ví dụ có lời giải

1Ví dụ 1/2
Một tổ chức nghiên cứu xã hội muốn so sánh mức ủng hộ đối với dự án xây dựng tuyến xe buýt nhanh ở hai thành phố. Họ chọn ngẫu nhiên và độc lập 250 người trưởng thành ở thành phố A, trong đó có 150 người nói rằng họ ủng hộ dự án; đồng thời chọn ngẫu nhiên 300 người trưởng thành ở thành phố B, trong đó có 150 người ủng hộ. Mỗi thành phố đều có hơn một triệu người trưởng thành.
  1. aKiểm tra các điều kiện cần thiết để xây dựng khoảng tin cậy cho hiệu hai tỉ lệ.
  2. bXây dựng khoảng tin cậy 95% cho hiệu giữa tỉ lệ người ủng hộ ở thành phố A và tỉ lệ người ủng hộ ở thành phố B.
  3. cDựa trên khoảng vừa tìm được, có bằng chứng thuyết phục rằng mức ủng hộ ở hai thành phố khác nhau hay không? Giải thích.
1Bước 1: Trước hết phải gọi tên tham số cần ước lượng. Đặt p1p_1 là tỉ lệ toàn bộ người trưởng thành ở thành phố A ủng hộ dự án và p2p_2 là tỉ lệ tương ứng ở thành phố B; đại lượng ta quan tâm là p1−p2p_1-p_2. Thủ tục dùng ở đây là khoảng tin cậy z hai mẫu (two-sample z-interval) cho hiệu hai tỉ lệ, nên phải kiểm tra điều kiện trước khi tính.
2Bước 2: Có ba điều kiện cần xác nhận. Thứ nhất, hai mẫu được chọn ngẫu nhiên và độc lập với nhau, đúng như đề mô tả. Thứ hai, điều kiện 10%: 250<0,1⋅1 000 000250<0{,}1\cdot 1\,000\,000 và 300<0,1⋅1 000 000300<0{,}1\cdot 1\,000\,000, nên việc lấy mẫu không hoàn lại vẫn không làm hỏng công thức phương sai. Thứ ba, điều kiện xấp xỉ chuẩn: số thành công và số thất bại của mỗi mẫu lần lượt là 150150 và 100100 ở thành phố A, 150150 và 150150 ở thành phố B, cả bốn số đều lớn hơn 1010. Do đó cả ba điều kiện đều thỏa mãn.
3Bước 3: Tính hai tỉ lệ mẫu rồi lấy hiệu: p^1=150250=0,60\hat p_1=\dfrac{150}{250}=0{,}60 và p^2=150300=0,50\hat p_2=\dfrac{150}{300}=0{,}50, nên p^1−p^2=0,10\hat p_1-\hat p_2=0{,}10. Con số 0,100{,}10 này là ước lượng điểm cho p1−p2p_1-p_2, tức là mức chênh lệch ủng hộ quan sát được giữa hai mẫu.
4Bước 4: Sai số chuẩn (standard error) của hiệu hai tỉ lệ được tính bằng SE=p^1(1−p^1)n1+p^2(1−p^2)n2=0,60⋅0,40250+0,50⋅0,50300.SE=\sqrt{\frac{\hat p_1(1-\hat p_1)}{n_1}+\frac{\hat p_2(1-\hat p_2)}{n_2}}=\sqrt{\frac{0{,}60\cdot 0{,}40}{250}+\frac{0{,}50\cdot 0{,}50}{300}}. Hai số hạng trong căn là 0,000960{,}00096 và 0,0008330{,}000833, cộng lại được 0,0017930{,}001793, lấy căn bậc hai ta có SE≈0,0423SE\approx 0{,}0423. Công thức này nói rằng độ dao động của hiệu hai tỉ lệ là tổng độ dao động của từng tỉ lệ, chính vì hai mẫu độc lập nên phương sai mới cộng được như vậy.
5Bước 5: Với độ tin cậy 95%95\% thì z∗=1,96z^*=1{,}96, nên biên sai số là 1,96⋅0,0423≈0,0831{,}96\cdot 0{,}0423\approx 0{,}083. Khoảng tin cậy là 0,10±0,083  ⇒  (0,017;  0,183).0{,}10\pm 0{,}083\;\Rightarrow\;(0{,}017;\;0{,}183). Nghĩa là ta tin cậy 95%95\% rằng tỉ lệ ủng hộ ở thành phố A cao hơn tỉ lệ ủng hộ ở thành phố B từ khoảng 1,7 điểm phần trăm đến 18,3 điểm phần trăm.
6Bước 6: Để trả lời ý (c), hãy xem số 00 có nằm trong khoảng hay không. Vì toàn bộ khoảng (0,017; 0,183)(0{,}017;\,0{,}183) đều dương và không chứa 00, giá trị p1−p2=0p_1-p_2=0 không phải là một giá trị hợp lý cho hiệu hai tỉ lệ. Vì vậy dữ liệu cho bằng chứng thuyết phục rằng hai thành phố có mức ủng hộ khác nhau.

Các điều kiện ngẫu nhiên, 10% và xấp xỉ chuẩn đều thỏa mãn, nên khoảng tin cậy 95% cho hiệu giữa tỉ lệ ủng hộ ở thành phố A và thành phố B là (0,017; 0,183)(0{,}017;\,0{,}183). Ta tin cậy 95% rằng tỉ lệ người trưởng thành ủng hộ tuyến xe buýt nhanh ở thành phố A cao hơn ở thành phố B từ 1,7 đến 18,3 điểm phần trăm. Vì khoảng này hoàn toàn nằm bên phải số 0, có bằng chứng thuyết phục rằng mức ủng hộ ở thành phố A thực sự cao hơn thành phố B.

2Ví dụ 2/2
Một hãng dược thử nghiệm loại thuốc mới điều trị viêm mũi dị ứng. Các tình nguyện viên được phân ngẫu nhiên vào hai nhóm: 120 người dùng thuốc mới, trong đó 78 người thuyên giảm triệu chứng sau hai tuần; 130 người dùng thuốc cũ, trong đó 65 người thuyên giảm. Hãng muốn biết liệu thuốc mới có hiệu quả hơn thuốc cũ hay không, ở mức ý nghĩa α=0,05\alpha=0{,}05.
  1. aNêu giả thuyết không và giả thuyết đối, đồng thời xác định thủ tục kiểm định phù hợp.
  2. bTính thống kê kiểm định và giá trị P, rồi đưa ra kết luận trong ngữ cảnh.
1Bước 1: Gọi p1p_1 là tỉ lệ thuyên giảm nếu toàn bộ đối tượng dùng thuốc mới và p2p_2 là tỉ lệ thuyên giảm nếu tất cả dùng thuốc cũ. Vì câu hỏi là thuốc mới có tốt hơn hay không nên giả thuyết đối chỉ có một phía: H0:  p1−p2=0Ha:  p1−p2>0.H_0:\;p_1-p_2=0\qquad H_a:\;p_1-p_2>0. Thủ tục cần dùng là kiểm định z hai mẫu (two-sample z-test) cho hiệu hai tỉ lệ.
2Bước 2: Điều kiện được kiểm tra như sau. Các tình nguyện viên được phân ngẫu nhiên vào hai nhóm nên hai nhóm độc lập; đây là thí nghiệm có gán ngẫu nhiên nên không cần điều kiện 10%. Số thành công và thất bại của từng nhóm là 7878 và 4242, 6565 và 6565, tất cả đều lớn hơn 1010, nên phân bố mẫu của hiệu hai tỉ lệ xấp xỉ chuẩn.
3Bước 3: Hai tỉ lệ mẫu là p^1=78120=0,65\hat p_1=\dfrac{78}{120}=0{,}65 và p^2=65130=0,50\hat p_2=\dfrac{65}{130}=0{,}50, do đó p^1−p^2=0,15\hat p_1-\hat p_2=0{,}15. Điểm khác biệt quan trọng so với bài toán khoảng tin cậy nằm ở chỗ: khi kiểm định, ta tạm coi H0H_0 đúng, nghĩa là hai tỉ lệ bằng nhau, nên phải gộp dữ liệu hai nhóm lại để ước lượng tỉ lệ chung. Tỉ lệ gộp (pooled proportion) là p^c=78+65120+130=143250=0,572.\hat p_c=\frac{78+65}{120+130}=\frac{143}{250}=0{,}572.
4Bước 4: Sai số chuẩn tính theo tỉ lệ gộp: SE=p^c(1−p^c)(1n1+1n2)=0,572⋅0,428(1120+1130).SE=\sqrt{\hat p_c(1-\hat p_c)\left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\right)}=\sqrt{0{,}572\cdot 0{,}428\left(\frac{1}{120}+\frac{1}{130}\right)}. Ta có 0,572⋅0,428=0,2448160{,}572\cdot 0{,}428=0{,}244816 và 1120+1130=0,016026\frac{1}{120}+\frac{1}{130}=0{,}016026, nhân lại được 0,0039230{,}003923, lấy căn bậc hai ra SE≈0,0626SE\approx 0{,}0626. Đây là độ lệch chuẩn của hiệu hai tỉ lệ mẫu trong thế giới mà H0H_0 đúng.
5Bước 5: Thống kê kiểm định là z=p^1−p^2−0SE=0,150,0626≈2,39.z=\frac{\hat p_1-\hat p_2-0}{SE}=\frac{0{,}15}{0{,}0626}\approx 2{,}39. Con số này cho biết chênh lệch quan sát được nằm cách 00 khoảng 2,39 độ lệch chuẩn về phía dương. Vì giả thuyết đối là một phía, giá trị P(P-value) là P(Z>2,39)≈0,008P(Z>2{,}39)\approx 0{,}008.
6Bước 6: So sánh 0,0080{,}008 với mức ý nghĩa 0,050{,}05. Vì 0,008<0,050{,}008<0{,}05, ta bác bỏ H0H_0. Cần nhớ rằng kết luận không phải là khẳng định HaH_a đúng, mà là dữ liệu cung cấp bằng chứng đủ mạnh để bác bỏ giả thuyết hai tỉ lệ bằng nhau.

Với z≈2,39z\approx 2{,}39 và giá trị P xấp xỉ 0,0080{,}008, nhỏ hơn mức ý nghĩa α=0,05\alpha=0{,}05, ta bác bỏ giả thuyết không. Có bằng chứng thuyết phục rằng tỉ lệ bệnh nhân thuyên giảm triệu chứng viêm mũi dị ứng khi dùng thuốc mới cao hơn tỉ lệ thuyên giảm khi dùng thuốc cũ. Vì đây là thí nghiệm có phân nhóm ngẫu nhiên nên ta còn được phép nói rằng thuốc mới là nguyên nhân tạo ra mức thuyên giảm cao hơn đó.

Bạn nắm chắc chưa?

Quiz câu thật từ ngân hàng đề

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.

Tạo tài khoản miễn phí

Học tiếp từ đây

Bài học chứa thuật ngữ nàyPhân phối mẫu của hiệu hai tỉ lệSuy luận cho tỉ lệ (dữ liệu phân loại) · khoá AP Statistics
Bài học chứa thuật ngữ nàyKTC cho hiệu hai tỉ lệSuy luận cho tỉ lệ (dữ liệu phân loại) · khoá AP Statistics
Bài học chứa thuật ngữ nàyThiết lập kiểm định cho hiệu hai tỉ lệ tổng thểSuy luận cho tỉ lệ (dữ liệu phân loại) · khoá AP Statistics
Dẫn tớikiểm định z hai mẫu cho hiệu hai tỉ lệkhoảng tin cậy
Liên quantỉ lệcác mẫu độc lậpsai số chuẩn
Mục tiêu và lộ trình unit xem miễn phí — làm bài tập và lưu tiến độ cần tài khoản 0đ.

Hay nhầm với

hiệu hai trung bình (difference of two means)difference of two means
Khác nhau ở đâuHiệu hai tỉ lệ so sánh hai nhóm trên một biến phân loại và dùng phân phối chuẩn. Hiệu hai trung bình so sánh hai nhóm trên một biến định lượng và dùng phân phối t.
Hay nhầm khiĐề cho dữ liệu dạng đếm số người trả lời "có" nhưng thí sinh lại đi tính trung bình rồi chọn nhầm thủ tục t.
cặp đôi (matched pairs)matched pairs
Khác nhau ở đâuHiệu hai tỉ lệ yêu cầu hai mẫu được lấy độc lập với nhau. Cặp đôi ghép từng đối tượng thành cặp nên chỉ còn một mẫu gồm các hiệu số.
Hay nhầm khiKhi đề đo cùng một nhóm người trước và sau can thiệp, thí sinh hay áp công thức hai mẫu độc lập dù dữ liệu là cặp ghép.

Cùng chủ đề

Nguồn tham khảo

  1. [1]Barron_AP_Stat_2026. tr. 14, 359, 362.

Biên soạn bởi DucklingStudy, bản quyền thuộc DucklingStudy. Xuất bản .