AP Statistics

giá trị dự đoán

predicted value

Còn gọi: predicted value

Giá trị dự đoán là giá trị của biến phản hồi mà mô hình hồi quy ước tính tương ứng với một giá trị cho trước của biến giải thích.

Trong phân tích hồi quy tuyến tính, giá trị dự đoán là con số mà đường hồi quy đưa ra cho biến phản hồi $y$ khi ta thay vào một giá trị cụ thể của biến giải thích $x$ . Ký hiệu quen thuộc là $\hat{y}$ , đọc là "y mũ", và công thức tính là $\hat{y} = b_0 + b_1x,$ trong đó $b_0$ là hệ số chặn và $b_1$ là hệ số góc của đường hồi quy bình phương tối thiểu. Vì vậy, cần nhớ rằng $\hat{y}$ chỉ là giá trị trung bình (mean) mà mô hình ước lượng (estimator) cho những quan sát có cùng $x$ , chứ không phải giá trị đo được thực tế của một cá thể cụ thể.

Sở dĩ đường hồi quy được chọn là vì nó làm cho tổng bình phương độ lệch giữa giá trị thực và giá trị dự đoán, tức $\sum (y_i - \hat{y}_i)^2$ , nhỏ nhất trong mọi đường thẳng có thể vẽ qua đám mây điểm. Hiệu số $y_i - \hat{y}_i$ chính là phần dư (residual) của quan sát thứ $i$ , cho biết mô hình đoán thừa hay đoán thiếu bao nhiêu so với thực tế. Nhờ tính chất tối ưu này, đường hồi quy luôn đi qua điểm trung bình $(\bar{x}, \bar{y})$ , do đó giá trị dự đoán tại $x = \bar{x}$ luôn bằng đúng $\bar{y}$ .

Vì thế, khi diễn giải kết quả trong bài thi, thí sinh phải gắn giá trị dự đoán với ngữ cảnh của đề bài, ví dụ nói rõ đó là điểm GPA trung bình dự đoán cho một mức giờ học nhất định, thay vì chỉ đọc con số suông. Ngoài ra, việc thay $x$ nằm ngoài phạm vi dữ liệu quan sát được để tính $\hat{y}$ gọi là ngoại suy (extrapolation), và đây là thao tác rủi ro vì không có gì đảm bảo mối quan hệ tuyến tính vẫn đúng bên ngoài khoảng dữ liệu đã thu thập. Do đó, giá trị dự đoán chỉ đáng tin khi $x$ nằm trong hoặc gần vùng giá trị đã được dùng để xây dựng mô hình.

Ký hiệu

\hat{y}

Trực giác: Giống như dùng công thức quy đổi chiều cao sang cân nặng trung bình để đoán cân nặng của một người mới, dù người đó thực tế có thể nặng hơn hoặc nhẹ hơn con số đó.

Công thức

\hat{y} = \htmlClass{fp-0}{b_0} + \htmlClass{fp-1}{b_1 x}

Dùng khi đã có phương trình đường hồi quy tuyến tính (least-squares regression line) và cần tính giá trị dự đoán của biến phụ thuộc ứng với một giá trị cụ thể của biến độc lập.

Trong đó

\hat{y}

giá trị dự đoán (predicted value) của biến phụ thuộc

y

b_0

tung độ gốc (y-intercept) của đường hồi quy

b_1

hệ số góc (slope) của đường hồi quy

x

giá trị cho trước của biến độc lập

\min \sum_{i=1}^{n} (y_i - \hat{y}_i)^2

Nêu tiêu chí xác định đường hồi quy bình phương nhỏ nhất (least-squares line): đó là đường mà tổng bình phương các phần dư giữa giá trị quan sát và giá trị dự đoán là nhỏ nhất trong mọi đường thẳng có thể vẽ.

Trong đó

y_i

giá trị quan sát thực tế thứ

i

\hat{y}_i

giá trị dự đoán thứ

i

tính từ đường hồi quy

n

số quan sát trong mẫu

Thử nghiệm tương tác

Trượt vạch tới x bất kỳ — đọc ŷ trên đường hồi quy

Kéo tham số, thấy khái niệm chuyển động — mở khoá bằng tài khoản 0đ.

Tạo tài khoản miễn phí

Hay hiểu sai

Giá trị dự đoán $\hat{y}$ không phải giá trị thật quan sát được.

Thay nhầm vai trò của $x$ và $y$ là lỗi mất điểm nhiều nhất.

Hệ số góc âm phải được tính là phép trừ, không phải phép cộng.

Không được thay một giá trị $x$ nằm ngoài phạm vi dữ liệu gốc.

Mẹo phòng thi

Luôn viết dấu mũ trên $\hat{y}$ khi trình bày bài tự luận.

Câu hỏi dạng này chỉ mất khoảng hai mươi giây nếu bạn đọc kỹ đơn vị.

Khi đề cho bảng dữ liệu thay vì phương trình, hãy tìm hệ số chặn và hệ số góc ở cột "Coef".

Tần suất trong đề AP StatisticsHay gặp

Ví dụ có lời giải

1Ví dụ 1/2

Người ta đo vận tốc dòng chảy và độ sâu tại nhiều vị trí trên một con sông. Gọi

x

là vận tốc (đơn vị: feet trên giây) và

y

là độ sâu (đơn vị: feet). Đường hồi quy bình phương nhỏ nhất (least-squares regression line) tóm tắt mối liên hệ giữa hai biến này là

\hat{y} = 1{,}8 - 0{,}2x

. Tại một vị trí đo được vận tốc

5

feet/giây, độ sâu thực tế quan sát được là

1{,}1

feet.

aTính giá trị dự đoán của $y$ (tính bằng feet) khi $x = 5$ .
bTính phần dư tại vị trí này và cho biết mô hình đã dự đoán cao hay thấp hơn thực tế.

1Bước 1: Dấu mũ trên chữ

y

là tín hiệu nhận dạng:

\hat{y}

không phải số liệu đo được mà là con số mô hình dự đoán. Vì vậy, muốn có giá trị dự đoán ta chỉ cần thay giá trị của biến giải thích (explanatory variable) vào phương trình, không cần tra lại bảng số liệu.

2Bước 2: Thay

x = 5

vào phương trình:

\hat{y} = 1{,}8 - 0{,}2(5) = 1{,}8 - 1{,}0 = 0{,}8

. Do đó tại nơi nước chảy với vận tốc

5

feet/giây, mô hình dự đoán độ sâu trung bình của sông là

0{,}8

feet. Cách diễn đạt phải kèm chữ "dự đoán" hoặc "trung bình", vì một vị trí cụ thể hoàn toàn có thể sâu hơn hay nông hơn con số này.

3Bước 3: Phần dư (residual) là hiệu giữa giá trị quan sát và giá trị dự đoán:

y - \hat{y} = 1{,}1 - 0{,}8 = 0{,}3

. Phần dư dương nghĩa là điểm dữ liệu nằm phía trên đường hồi quy, tức mô hình dự đoán thấp hơn thực tế

0{,}3

feet.

Khi vận tốc là $5$ feet/giây, độ sâu dự đoán của con sông là $0{,}8$ feet. Vị trí đo thực tế sâu $1{,}1$ feet nên phần dư bằng $+0{,}3$ feet: mô hình đã dự đoán hụt so với độ sâu thật tại vị trí đó.

2Ví dụ 2/2

Một nghiên cứu trên

50

học sinh ghi lại số giờ tự học mỗi tuần (

x

) và điểm trung bình học kỳ GPA (

y

). Kết quả thống kê cho thấy

\bar{x} = 12

giờ với độ lệch chuẩn (standard deviation)

s_x = 4

giờ,

\bar{y} = 3{,}0

với

s_y = 0{,}4

, và hệ số tương quan (correlation coefficient) là

r = 0{,}6

. Số giờ tự học trong mẫu dao động từ

4

đến

22

giờ. Một học sinh trong mẫu tự học

15

giờ mỗi tuần và đạt GPA

3{,}0

aViết phương trình đường hồi quy rồi tính GPA dự đoán cho học sinh tự học $15$ giờ mỗi tuần.
bGiải thích vì sao không nên dùng mô hình này để dự đoán GPA của một học sinh tự học $40$ giờ mỗi tuần.

1Bước 1: Hệ số góc tính theo công thức

b = r\dfrac{s_y}{s_x} = 0{,}6 \times \dfrac{0{,}4}{4} = 0{,}06

. Con số này nói rằng cứ thêm một giờ tự học mỗi tuần thì GPA dự đoán tăng thêm

0{,}06

điểm.

2Bước 2: Đường hồi quy luôn đi qua điểm

(\bar{x}, \bar{y})

, nên hệ số chặn là

a = \bar{y} - b\bar{x} = 3{,}0 - 0{,}06(12) = 3{,}0 - 0{,}72 = 2{,}28

. Vậy phương trình cần tìm là

\hat{y} = 2{,}28 + 0{,}06x

3Bước 3: Thay

x = 15

\hat{y} = 2{,}28 + 0{,}06(15) = 2{,}28 + 0{,}90 = 3{,}18

. Giá trị dự đoán

3{,}18

này là GPA trung bình của nhóm học sinh học

15

giờ mỗi tuần, chứ không phải điểm chắc chắn của một cá nhân. Học sinh nói trên chỉ đạt

3{,}0

, nên phần dư bằng

3{,}0 - 3{,}18 = -0{,}18

, tức mô hình dự đoán vượt thực tế

0{,}18

điểm.

4Bước 4: Với

x = 40

, phép tính vẫn cho ra

\hat{y} = 2{,}28 + 0{,}06(40) = 4{,}68

, nhưng con số ấy vô nghĩa vì thang GPA thường chỉ tới

4{,}0

. Nguyên nhân là

40

nằm xa ngoài khoảng dữ liệu

[4; 22]

đã quan sát, và ta không có bằng chứng nào cho thấy quan hệ tuyến tính còn đúng ở vùng đó. Việc dự đoán ngoài khoảng dữ liệu như vậy gọi là ngoại suy (extrapolation) và cần tránh.

Phương trình hồi quy là $\hat{y} = 2{,}28 + 0{,}06x$ ; học sinh tự học $15$ giờ mỗi tuần có GPA dự đoán là $3{,}18$ , cao hơn GPA thực tế $3{,}0$ của em đó $0{,}18$ điểm. Tuy nhiên, với $40$ giờ tự học thì giá trị dự đoán $4{,}68$ không đáng tin vì nằm ngoài phạm vi số giờ tự học mà mẫu đã ghi nhận.

Bạn nắm chắc chưa?

Quiz câu thật từ ngân hàng đề

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.

Tạo tài khoản miễn phí

Học tiếp từ đây

Bài học chứa thuật ngữ nàyDự đoán với linear regression model (mô hình hồi quy tuyến tính)Phân tích hồi quy · khoá AP Statistics

Bài học chứa thuật ngữ nàyResidual (phần dư) trong hồi quyPhân tích hồi quy · khoá AP Statistics

Bài học chứa thuật ngữ nàyHồi quy bình phương tối thiểuPhân tích hồi quy · khoá AP Statistics

Cần trướcbiến giải thích

Dẫn tớiphần dư ngoại suy

Liên quanđường hồi quy bình phương tối thiểu giá trị quan sát

Mục tiêu và lộ trình unit xem miễn phí — làm bài tập và lưu tiến độ cần tài khoản 0đ.

Hay nhầm với

Thuật ngữKhác nhau ở đâuHay nhầm khi

giá trị quan sát (observed values)observed values

Khác nhau ở đâuGiá trị dự đoán là số do đường hồi quy tính ra khi thay

x

vào phương trình. Giá trị quan sát là số thật sự đo được và ghi trong bảng dữ liệu.

Hay nhầm khiKhi đề cho một điểm dữ liệu và hỏi phần dư, thí sinh hay lấy dự đoán trừ quan sát (ngược dấu) hoặc dùng nhầm

y

thật thay cho

\hat{y}

Cùng chủ đề

Nguồn tham khảo

[1]Barron_AP_Stat_2026. tr. 72, 178, 183.