AP Statistics

giá trị lớn nhất

maximum

Còn gọi: max · maximum

Giá trị lớn nhất là số cao nhất xuất hiện trong bộ dữ liệu, dùng để tính khoảng biến thiên và vẽ boxplot.

Khi sắp xếp toàn bộ số liệu theo thứ tự tăng dần, giá trị lớn nhất (maximum) chính là số hạng đứng cuối cùng của dãy đó. Nếu ký hiệu dãy đã sắp xếp là $x_{(1)} \le x_{(2)} \le \cdots \le x_{(n)}$ , thì giá trị lớn nhất bằng $x_{(n)}$ , tức là quan sát ở vị trí thứ $n$ . Cùng với giá trị nhỏ nhất, trung vị, và hai tứ phân vị, giá trị lớn nhất tạo thành bộ năm số tóm tắt (five-number summary) mà đề thi thường yêu cầu thí sinh tính từ bảng tần số hay biểu đồ thân lá.

Vì vậy, vai trò rõ nhất của giá trị lớn nhất nằm ở khoảng biến thiên (range), tính bằng $R = \text{Max} - \text{Min}$ . Đại lượng này cho biết dữ liệu trải rộng bao xa, nhưng vì chỉ dựa vào hai điểm cực trị nên nó rất nhạy với một quan sát bất thường. Trên biểu đồ hộp (boxplot), giá trị lớn nhất là đầu mút của râu bên phải, trừ khi nó bị đánh dấu riêng như một giá trị ngoại lai (outlier); khi đó râu chỉ vẽ đến quan sát lớn nhất không phải ngoại lai, còn điểm cực trị được chấm rời.

Ngược lại, để xác định giá trị lớn nhất có phải ngoại lai hay không, người ta so nó với ngưỡng trên của quy tắc 1.5 lần khoảng tứ phân vị: một quan sát bị coi là ngoại lai nếu $x > Q_3 + 1{,}5 \times IQR$ . Nhờ quy tắc này, đề thi thường cho một dãy số liệu rồi hỏi liệu giá trị lớn nhất có nằm ngoài ngưỡng đó hay không, và nếu có thì phải loại nó ra khi mô tả hình dạng phân phối. Do đó, khi đọc giá trị lớn nhất, học sinh cần đặt nó trong tương quan với các tứ phân vị chứ không nhìn nó một cách tách rời.

Ký hiệuMax,

x_{(n)}

Trực giác: Giống như hỏi ai chạy nhanh nhất trong lớp — chỉ cần nhìn người về đích đầu tiên, không cần quan tâm những người còn lại.

Công thức

\text{Max} = x_{(n)}

dùng khi cần xác định giá trị lớn nhất của một tập số liệu đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần, làm đầu mút trên của bảng tóm tắt năm số (five-number summary) và tính khoảng biến thiên (range).

Trong đó

x_{(n)}

quan sát đứng cuối cùng khi dữ liệu đã sắp xếp tăng dần, chính là giá trị lớn nhất

n

tổng số quan sát trong tập dữ liệu

Thử nghiệm tương tác

Kéo chấm ngoài cùng bên phải — xem nhãn Max và râu hộp tách nhau

Kéo tham số, thấy khái niệm chuyển động — mở khoá bằng tài khoản 0đ.

Tạo tài khoản miễn phí

Hay hiểu sai

Đầu mút râu của biểu đồ hộp không chắc là giá trị lớn nhất.

Giá trị lớn nhất không mặc nhiên là một giá trị ngoại lai.

Khoảng biến thiên là một con số, không phải cặp giá trị nhỏ nhất và lớn nhất.

Giá trị lớn nhất bị một quan sát cá biệt kéo đi, còn IQR thì không.

Mẹo phòng thi

Gặp bảng tóm tắt máy tính, hãy tính ngay hai ngưỡng ngoại lai trước khi trả lời.

Khi đề hỏi giá trị lớn nhất nằm trong khoảng tin cậy, hãy so với cận trên rồi lùi lại.

So sánh hai phân bố thì phải nêu rõ đang so thước đo nào.

Tần suất trong đề AP StatisticsThường xuyên

Ví dụ có lời giải

1Ví dụ 1/2

Một nhóm học sinh được hỏi về số giờ chơi trò chơi điện tử trong ngày thứ Hai và ngày thứ Bảy tuần trước. Bảng sau cho năm số tóm tắt của mỗi ngày (đơn vị: giờ). Thứ Hai: Min

=0

Q_1=1

, Median

=2

Q_3=4

, Max

=12

. Thứ Bảy: Min

=1

Q_1=4

, Median

=6

Q_3=8

, Max

=18

aTính khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mỗi ngày.
bSo sánh độ phân tán của hai ngày dựa trên hai đại lượng vừa tính.
cVới mỗi ngày, hãy kiểm tra xem giá trị lớn nhất có phải là giá trị ngoại lai theo quy tắc $1{,}5\times$ IQR hay không.

1Bước 1: Khoảng biến thiên (range) là hiệu giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất, nên chỉ cần lấy hai số ở hai đầu bảng. Với thứ Hai ta có

12-0=12

giờ, còn với thứ Bảy ta có

18-1=17

giờ. Con số này cho biết toàn bộ dữ liệu của mỗi ngày trải trên một đoạn dài bao nhiêu, nhưng nó chỉ dùng đúng hai quan sát đầu mút.

2Bước 2: Khoảng tứ phân vị (interquartile range, IQR) được tính bằng

Q_3-Q_1

, tức bề rộng của nửa dữ liệu ở giữa. Thứ Hai cho

4-1=3

giờ và thứ Bảy cho

8-4=4

giờ. Vì bỏ qua hai đuôi, đại lượng này không bị kéo lệch bởi vài học sinh chơi rất nhiều.

3Bước 3: Đặt hai kết quả cạnh nhau, thứ Bảy có cả khoảng biến thiên lớn hơn (

17

so với

12

) lẫn khoảng tứ phân vị lớn hơn (

4

so với

3

). Do đó dữ liệu ngày thứ Bảy phân tán rộng hơn theo cả hai thước đo. Tuy nhiên chênh lệch ở khoảng biến thiên (

5

giờ) lớn hơn hẳn chênh lệch ở khoảng tứ phân vị (

1

giờ), dấu hiệu cho thấy phần lớn sự khác biệt nằm ở đuôi trên chứ không ở khối giữa.

4Bước 4: Để kiểm tra giá trị ngoại lai (outlier) ta dựng rào trên theo công thức

Q_3+1{,}5(\text{IQR})

. Ngày thứ Hai được

4+1{,}5(3)=8{,}5

và giá trị lớn nhất

12>8{,}5

; ngày thứ Bảy được

8+1{,}5(4)=14

và giá trị lớn nhất

18>14

. Vậy ở cả hai ngày, học sinh chơi nhiều nhất đều bị đánh dấu là giá trị ngoại lai.

Ngày thứ Hai có khoảng biến thiên $12$ giờ và IQR $3$ giờ; ngày thứ Bảy có khoảng biến thiên $17$ giờ và IQR $4$ giờ. Số giờ chơi ngày thứ Bảy phân tán hơn ngày thứ Hai theo cả hai thước đo, và ở mỗi ngày giá trị lớn nhất ( $12$ giờ và $18$ giờ) đều vượt rào trên nên được xem là giá trị ngoại lai.

2Ví dụ 2/2

Cho một dự án khoa học, Jalen đo độ

\text{pH}

của

25

sản phẩm giấm. Phần mềm thống kê xuất ra bảng sau:

N=25

\text{Mean}=2{,}50

\text{Median}=2{,}49

\text{StDev}=0{,}26

\text{Minimum}=2{,}11

\text{Maximum}=2{,}93

Q_1=2{,}23

Q_3=2{,}76

aTính khoảng biến thiên của tập dữ liệu.
bTheo quy tắc $1{,}5\times$ IQR, sản phẩm có độ pH lớn nhất có phải giá trị ngoại lai không?
cTính điểm z của giá trị lớn nhất và giải thích ý nghĩa của nó.

1Bước 1: Khoảng biến thiên lấy trực tiếp từ hai dòng đầu mút của bảng:

2{,}93-2{,}11=0{,}82

. Như vậy toàn bộ

25

giá trị pH nằm gọn trong một đoạn rộng

0{,}82

đơn vị pH.

2Bước 2: Tiếp theo tính

\text{IQR}=Q_3-Q_1=2{,}76-2{,}23=0{,}53

, rồi dựng rào trên

Q_3+1{,}5(\text{IQR})=2{,}76+1{,}5(0{,}53)=2{,}76+0{,}795=3{,}555

. Giá trị lớn nhất là

2{,}93

, nhỏ hơn

3{,}555

, nên nó chưa vượt rào.

3Bước 3: Vì giá trị lớn nhất không vượt rào trên, và giá trị nhỏ nhất

2{,}11

cũng lớn hơn rào dưới

Q_1-1{,}5(\text{IQR})=2{,}23-0{,}795=1{,}435

, tập dữ liệu không có giá trị ngoại lai nào theo quy tắc này. Nói cách khác, sản phẩm chua nhất vẫn nằm trong vùng bình thường của phân bố.

4Bước 4: Điểm z (z-score) đo khoảng cách từ một quan sát tới trung bình, tính theo số lần độ lệch chuẩn (standard deviation):

z=\frac{x-\bar{x}}{s}=\frac{2{,}93-2{,}50}{0{,}26}\approx 1{,}65.

Kết quả

1{,}65

nghĩa là giá trị lớn nhất nằm cao hơn trung bình khoảng

1{,}65

độ lệch chuẩn. Con số này chưa tới

2

, nên ngay cả theo quy tắc hai độ lệch chuẩn thì nó cũng không bị coi là bất thường.

Khoảng biến thiên của độ pH là $0{,}82$ . Giá trị lớn nhất $2{,}93$ nằm dưới rào trên $3{,}555$ nên không phải giá trị ngoại lai, và điểm z của nó xấp xỉ $1{,}65$ , tức sản phẩm giấm có pH cao nhất chỉ cao hơn mức trung bình chưa tới hai độ lệch chuẩn.

Bạn nắm chắc chưa?

Quiz câu thật từ ngân hàng đề

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.

Tạo tài khoản miễn phí

Học tiếp từ đây

Bài học chứa thuật ngữ nàyThống kê mô tả cho một biến định lượngDữ liệu một biến & thu thập dữ liệu · khoá AP Statistics

Bài học chứa thuật ngữ nàyĐồ thị cho các đại lượng mô tảDữ liệu một biến & thu thập dữ liệu · khoá AP Statistics

Dẫn tớitóm tắt năm số khoảng biến thiên

Liên quandữ liệu định lượng boxplot

So vớigiá trị nhỏ nhất

Mục tiêu và lộ trình unit xem miễn phí — làm bài tập và lưu tiến độ cần tài khoản 0đ.

Hay nhầm với

Thuật ngữKhác nhau ở đâuHay nhầm khi

giá trị nhỏ nhất (minimum)minimum

Khác nhau ở đâuGiá trị lớn nhất là quan sát đứng cuối khi sắp xếp tăng dần. Giá trị nhỏ nhất là quan sát đứng đầu dãy đó.

Hay nhầm khiKhi đề cho tóm tắt năm số và hỏi khoảng biến thiên, dễ trừ ngược thứ tự thành số âm.

giá trị ngoại lệ (outlier)outlier

Khác nhau ở đâuGiá trị lớn nhất luôn tồn tại trong mọi tập dữ liệu, dù nó bình thường. Giá trị ngoại lệ chỉ xuất hiện khi một quan sát vượt hẳn quy tắc 1,5·IQR.

Hay nhầm khiKhi vẽ boxplot, nhiều bạn kéo râu tới giá trị lớn nhất mà quên kiểm tra xem nó có phải ngoại lệ cần chấm riêng hay không.

Cùng chủ đề

Nguồn tham khảo

[1]Barron_AP_Stat_2026. tr. 79, 91, 97.