AP Statistics

giá trị nhỏ nhất

minimum

Còn gọi: min · minimum

Giá trị nhỏ nhất là số liệu bé nhất trong một tập dữ liệu định lượng, thường ký hiệu min, dùng làm mốc đầu của bảng năm số tóm tắt.

Khi sắp xếp một dãy số liệu định lượng theo thứ tự tăng dần, giá trị nhỏ nhất chính là số liệu đứng ở vị trí đầu tiên. Đại lượng này cùng với giá trị lớn nhất tạo nên hai đầu mút của tập dữ liệu, và cùng nhau chúng xác định biên độ (range) của phân phối, tức khoảng cách giữa hai cực trị. Trong bảng năm số tóm tắt, giá trị nhỏ nhất đứng cạnh tứ phân vị dưới, trung vị, tứ phân vị trên và giá trị lớn nhất, tạo thành một khung nhìn nhanh về vị trí và độ trải rộng của dữ liệu.

Trên biểu đồ hộp (boxplot), giá trị nhỏ nhất thường được đánh dấu ở đầu của râu bên trái, trừ khi bản thân nó là một giá trị ngoại lai (outlier) thì sẽ được chấm rời và râu chỉ kéo đến số liệu nhỏ nhất còn lại không phải ngoại lai. Ngược lại, trên biểu đồ tần số (histogram) hay biểu đồ tần suất tích lũy chia theo nhóm, ta thường không biết chính xác giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu, mà chỉ biết nó rơi vào nhóm đầu tiên nào đó, chẳng hạn từ 60 đến 70 điểm. Do đó khi mô tả dữ liệu từ những dạng đồ thị này, học sinh cần diễn đạt cẩn trọng rằng giá trị nhỏ nhất nằm trong một khoảng chứ không khẳng định một con số cụ thể.

Vì nằm ở cực biên của tập dữ liệu, giá trị nhỏ nhất rất nhạy với sự xuất hiện của một quan sát bất thường. Nhờ đó, việc so sánh giá trị nhỏ nhất giữa các nhóm dữ liệu khác nhau giúp phát hiện sự khác biệt về điểm khởi đầu của phân phối, điều mà trung bình hay trung vị đôi khi không phản ánh rõ. Tuy nhiên, chính vì dễ bị ảnh hưởng bởi giá trị ngoại lai nên giá trị nhỏ nhất một mình không phải là thước đo đáng tin cậy cho xu hướng trung tâm hay độ biến động của toàn bộ dữ liệu.

Ký hiệumin

Trực giác: Giống như tìm học sinh thấp nhất trong lớp khi đã xếp cả lớp theo chiều cao tăng dần.

Công thức

x_{\min}=\min\{x_1,x_2,\dots,x_n\}

Dùng khi liệt kê giá trị nhỏ nhất trong tập dữ liệu, thường xuất hiện như một thành phần của bảng tóm tắt năm số (five-number summary) cùng với $Q_1$ , trung vị, $Q_3$ và giá trị lớn nhất.

Trong đó

x_{\min}

giá trị nhỏ nhất trong tập dữ liệu

x_1,\dots,x_n

toàn bộ các quan sát của biến định lượng

Thử nghiệm tương tác

Kéo chấm thấp nhất xuống — chỉ giá trị nhỏ nhất và khoảng biến thiên nhúc nhích

Kéo tham số, thấy khái niệm chuyển động — mở khoá bằng tài khoản 0đ.

Tạo tài khoản miễn phí

Hay hiểu sai

Đầu râu trái của biểu đồ hộp mới là giá trị nhỏ nhất, không phải cạnh trái của hộp.

Giá trị nhỏ nhất là một con số cụ thể, không phải một khoảng.

Điểm chuẩn hóa của giá trị nhỏ nhất luôn âm, đừng bỏ mất dấu trừ.

Nâng các giá trị nhỏ lên không nhất thiết làm trung vị thay đổi.

Mẹo phòng thi

Khi đọc biểu đồ hộp, hãy chỉ tay theo thứ tự năm số rồi mới trả lời.

Đừng nhầm cụm "minimum wage" trong đề với giá trị nhỏ nhất của dữ liệu.

Khi trình bày phần tự luận, luôn viết kèm đơn vị và bối cảnh cho giá trị nhỏ nhất.

Tần suất trong đề AP StatisticsThường xuyên

Ví dụ có lời giải

1Ví dụ 1/2

Một trạm khí tượng ghi lại nhiệt độ cao nhất trong ngày (đơn vị: độ C) của 40 ngày mùa xuân. Dữ liệu được tóm tắt bằng một biểu đồ hộp (boxplot) có râu trái kết thúc tại

8

, cạnh trái hộp tại

14

, vạch giữa hộp tại

18

, cạnh phải hộp tại

23

và râu phải kết thúc tại

31

; biểu đồ không vẽ thêm điểm rời rạc nào. Cùng bộ dữ liệu đó còn được vẽ lại dưới dạng biểu đồ tần số ghép nhóm với các nhóm có độ rộng

5

độ:

[5,10)

[10,15)

[15,20)

[20,25)

[25,30)

[30,35)

aĐọc tóm tắt năm số (five-number summary) từ biểu đồ hộp, tính khoảng biến thiên và cho biết phát biểu sau đúng hay sai: "Có ít nhất 25% số ngày có nhiệt độ cao nhất nằm trong khoảng từ 8 đến 14 độ C."
bNếu chỉ nhìn vào biểu đồ tần số ghép nhóm mà không có biểu đồ hộp, ta có thể nói gì về giá trị nhỏ nhất của bộ dữ liệu?

1Bước 1: Đọc năm mốc trên biểu đồ hộp theo đúng thứ tự từ trái sang phải. Vì biểu đồ không vẽ điểm rời rạc nào nên hai đầu râu chính là hai giá trị cực trị của mẫu:

\min = 8

Q_1 = 14

M = 18

Q_3 = 23

\max = 31

(độ C). Lưu ý rằng nếu biểu đồ có vẽ những dấu chấm tách rời ở phía ngoài râu, thì đầu râu không còn là giá trị nhỏ nhất nữa mà giá trị nhỏ nhất chính là điểm ngoại lai (outlier) thấp nhất.

2Bước 2: Khoảng biến thiên là hiệu của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất:

31 - 8 = 23

. Vậy nhiệt độ cao nhất trong ngày của 40 ngày này trải rộng trên

23

độ C.

3Bước 3: Đoạn từ

\min

đến

Q_1

là râu trái, tức là phần tư dưới của dữ liệu. Theo định nghĩa của tứ phân vị, khoảng từ

8

đến

14

chứa khoảng

25\%

số quan sát, ứng với chừng

40 \times 0{,}25 = 10

ngày. Do đó phát biểu "có ít nhất 25% số ngày" là chấp nhận được, còn nếu đề đổi thành "đúng 25% số ngày có nhiệt độ dưới 8 độ" thì sai, vì dưới giá trị nhỏ nhất không có quan sát nào cả.

4Bước 4: Với biểu đồ tần số ghép nhóm, mỗi cột chỉ cho biết có bao nhiêu quan sát rơi vào một nhóm, chứ không giữ lại từng giá trị riêng lẻ. Cột trái nhất ứng với nhóm

[5,10)

có tần số khác

0

, nên ta chỉ kết luận được rằng giá trị nhỏ nhất nằm đâu đó trong khoảng từ

5

đến

10

độ C. Muốn biết chính xác con số

8

thì phải dùng biểu đồ hộp, biểu đồ chấm hoặc biểu đồ thân–lá.

Tóm tắt năm số của nhiệt độ cao nhất trong ngày là $8$ , $14$ , $18$ , $23$ , $31$ độ C, với khoảng biến thiên $23$ độ C; khoảng $25\%$ số ngày (chừng 10 ngày) có nhiệt độ từ $8$ đến $14$ độ C nên phát biểu đã cho là đúng. Ngược lại, biểu đồ tần số ghép nhóm chỉ cho phép nói giá trị nhỏ nhất nằm trong khoảng $[5,10)$ độ C chứ không xác định được đúng bằng $8$ độ C.

2Ví dụ 2/2

Một quán cà phê nhỏ có

9

nhân viên với mức lương theo giờ (đơn vị: đô la) như sau:

12{,}00

;

12{,}50

;

13{,}00

;

14{,}00

;

14{,}50

;

15{,}50

;

16{,}00

;

18{,}00

;

20{,}00

. Một quy định mới buộc mọi cơ sở kinh doanh phải trả lương tối thiểu $\

15{,}00

mỗi giờ, nên quán dự định nâng lương của

5

nhân viên đang nhận dưới $\

15{,}00

lên đúng $\

15{,}00

, còn

4

nhân viên kia giữ nguyên.

aTính giá trị nhỏ nhất, trung vị và trung bình của mức lương trước và sau khi điều chỉnh.
bKhoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị (interquartile range) và độ lệch chuẩn (standard deviation) thay đổi ra sao sau khi điều chỉnh?

1Bước 1: Dữ liệu đã được sắp xếp tăng dần, nên đọc ngay được

\min = 12{,}00

và

\max = 20{,}00

. Với

n = 9

lẻ, trung vị là giá trị thứ

5

, tức

M = 14{,}50

. Tổng các mức lương là

135{,}50

, do đó

\bar{x} = 135{,}50/9 \approx 15{,}06

đô la.

2Bước 2: Sau điều chỉnh, dãy lương trở thành

15{,}00

(lặp

5

lần);

15{,}50

;

16{,}00

;

18{,}00

;

20{,}00

. Bây giờ

\min = 15{,}00

và trung vị vẫn là giá trị thứ

5

, tức

M = 15{,}00

. Tổng mới là

5 \times 15 + 15{,}50 + 16 + 18 + 20 = 144{,}50

, nên

\bar{x} = 144{,}50/9 \approx 16{,}06

đô la.

3Bước 3: Khoảng biến thiên trước là

20{,}00 - 12{,}00 = 8{,}00

, sau là

20{,}00 - 15{,}00 = 5{,}00

. Vì giá trị lớn nhất không đổi mà giá trị nhỏ nhất bị kéo lên, khoảng biến thiên buộc phải co lại đúng bằng phần mà giá trị nhỏ nhất đã tăng.

4Bước 4: Với

n = 9

, nửa dưới gồm bốn giá trị đầu và nửa trên gồm bốn giá trị cuối. Trước điều chỉnh:

Q_1 = (12{,}50+13{,}00)/2 = 12{,}75

và

Q_3 = (16{,}00+18{,}00)/2 = 17{,}00

, nên

IQR = 4{,}25

. Sau điều chỉnh: nửa dưới toàn là

15{,}00

nên

Q_1 = 15{,}00

, còn

Q_3

vẫn là

17{,}00

, cho

IQR = 2{,}00

5Bước 5: Dùng

s = \sqrt{\dfrac{\sum (x_i-\bar{x})^2}{n-1}}

, tổng bình phương độ lệch trước điều chỉnh là

55{,}72

, nên

s = \sqrt{55{,}72/8} \approx 2{,}64

. Sau điều chỉnh tổng bình phương độ lệch chỉ còn

25{,}22

, nên

s = \sqrt{25{,}22/8} \approx 1{,}78

. Nhóm lương thấp bị dồn về cùng một con số nên các quan sát nằm sát nhau hơn, và độ phân tán giảm.

Sau khi áp dụng mức lương tối thiểu, giá trị nhỏ nhất tăng từ $\ $12{,}00$ lên $\ $15{,}00$ , trung vị tăng từ $\ $14{,}50$ lên $\ $15{,}00$ và trung bình tăng từ khoảng $\ $15{,}06$ lên khoảng $\ $16{,}06$ mỗi giờ. Đồng thời cả ba thước đo độ phân tán đều giảm: khoảng biến thiên từ $\ $8{,}00$ xuống $\ $5{,}00$ , khoảng tứ phân vị từ $\ $4{,}25$ xuống $\ $2{,}00$ và độ lệch chuẩn từ khoảng $\ $2{,}64$ xuống khoảng $\ $1{,}78$ . Nói cách khác, việc nâng riêng giá trị nhỏ nhất vừa đẩy tâm của phân bố lương lên cao vừa làm cho mức lương giữa các nhân viên của quán cà phê đồng đều hơn.

Bạn nắm chắc chưa?

Quiz câu thật từ ngân hàng đề

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.

Tạo tài khoản miễn phí

Học tiếp từ đây

Bài học chứa thuật ngữ nàyThống kê mô tả cho một biến định lượngDữ liệu một biến & thu thập dữ liệu · khoá AP Statistics

Bài học chứa thuật ngữ nàyĐồ thị cho các đại lượng mô tảDữ liệu một biến & thu thập dữ liệu · khoá AP Statistics

Dẫn tớitóm tắt năm số khoảng biến thiên boxplot

Liên quandữ liệu định lượng giá trị lớn nhất

Mục tiêu và lộ trình unit xem miễn phí — làm bài tập và lưu tiến độ cần tài khoản 0đ.

Hay nhầm với

Thuật ngữKhác nhau ở đâuHay nhầm khi

giá trị lớn nhất (maximum)maximum

Khác nhau ở đâuGiá trị nhỏ nhất là số bé nhất trong tập dữ liệu, nằm ở đầu trái. Giá trị lớn nhất là số lớn nhất, nằm ở đầu phải.

Hay nhầm khiKhi tính khoảng biến thiên, thí sinh hay đảo thứ tự phép trừ và ra kết quả âm.

giá trị ngoại lệ (outlier)outlier

Khác nhau ở đâuGiá trị nhỏ nhất luôn tồn tại và chỉ đơn giản là số bé nhất quan sát được. Giá trị ngoại lệ là điểm nằm quá xa phần còn lại theo quy tắc

1{,}5\times IQR

Hay nhầm khiĐọc boxplot có điểm ngoại lệ vẽ riêng: đầu râu trái lúc đó là ranh giới, không phải giá trị nhỏ nhất.

Cùng chủ đề

Nguồn tham khảo

[1]Barron_AP_Stat_2026. tr. 79, 91, 97.