DucklingStudyDucklingStudy

AP Statistics

râu (của biểu đồ hộp)

whisker

Còn gọi: whisker

Râu của biểu đồ hộp là đoạn thẳng nối từ cạnh hộp đến giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của dữ liệu, không tính các giá trị ngoại lai.

Một biểu đồ hộp (boxplot) gồm một cái hộp thể hiện khoảng chứa 50% dữ liệu ở giữa, và hai đoạn thẳng mảnh mọc ra từ hai cạnh hộp gọi là râu. Trong khi hộp cho biết độ trải của hai phần tư giữa, râu cho biết độ trải của hai phần tư còn lại nằm ở hai đầu phân phối. Nhờ có râu, người đọc biết được giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của tập dữ liệu chứ không chỉ biết phần lõi tập trung ở giữa.

Độ dài râu không tùy tiện mà bị ràng buộc bởi quy tắc xác định giá trị ngoại lai (outlier). Trước tiên người ta tính khoảng tứ phân vị IQR=Q3−Q1IQR = Q_3 - Q_1, rồi dựng hai ranh giới:

Q1−1.5×IQRvaˋQ3+1.5×IQRQ_1 - 1.5 \times IQR \quad \text{và} \quad Q_3 + 1.5 \times IQR

Mọi giá trị nằm ngoài hai ranh giới này bị đánh dấu là ngoại lai và được vẽ riêng thành các chấm, không được gộp vào râu. Do đó khi tập dữ liệu không có ngoại lai, râu chạy thẳng từ cạnh hộp đến đúng giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của dữ liệu.

Tuy nhiên khi có ngoại lai, râu không được vẽ tới hai ranh giới Q1−1.5×IQRQ_1 - 1.5 \times IQR và Q3+1.5×IQRQ_3 + 1.5\times IQR vừa tính, mà chỉ vẽ tới giá trị thực tế lớn nhất hoặc nhỏ nhất trong dữ liệu mà chưa bị loại làm ngoại lai. Ngược lại, các điểm bị loại ra sẽ nằm tách biệt phía ngoài đầu râu. Nhờ đó, một cái nhìn nhanh vào độ dài và độ đối xứng của hai bên râu cũng gợi ý phần nào về hình dạng lệch của phân phối, dù biểu đồ hộp về bản chất không cho biết hình dạng chi tiết như biểu đồ tần suất (histogram).

Trực giác: Râu giống như hai sợi ăng-ten mọc ra từ hộp, vươn tới đúng nơi dữ liệu bình thường kết thúc, còn điểm nào bay quá xa thì bị tách riêng ra ngoài chứ không được tính vào ăng-ten.

Công thức

whiskermax⁡=max⁡{xi:xi≤Q3+1.5 IQR}\text{whisker}_{\max} = \htmlClass{fp-2}{\max\{x_i : \htmlClass{fp-1}{x_i \le \htmlClass{fp-0}{Q_3 + 1.5\,IQR}}\}}

Dùng khi vẽ hoặc đọc biểu đồ hộp để xác định râu trên (và tương tự, râu dưới dùng min⁡{xi:xi≥Q1−1.5 IQR}\min\{x_i : x_i \ge Q_1 - 1.5\,IQR\}) kéo dài tới đâu: râu luôn dừng ở giá trị dữ liệu thật gần hàng rào nhất, không dừng ở chính con số hàng rào trừ khi nó trùng với một quan sát.

Trong đó

xix_imột giá trị quan sát trong tập dữ liệuQ3Q_3tứ phân vị thứ ba, ranh giới trên của hộpQ1Q_1tứ phân vị thứ nhất, ranh giới dưới của hộpIQRIQRkhoảng tứ phân vị, bằng Q3−Q1Q_3-Q_1, là độ dài của hộp

Khái niệm này sinh ra từ đâu

1970John Wilder TukeyMary Eleanor Spear

Râu là hai đoạn thẳng chìa ra từ hai đầu hộp trong biểu đồ hộp (box plot) — dạng đồ thị do nhà thống kê người Mỹ John Wilder Tukey giới thiệu năm 1970 để tóm tắt nhanh sự phân tán của một tập dữ liệu.

Trước Tukey, cách vẽ thanh biểu diễn khoảng biến thiên đã xuất hiện trong sách của Mary Eleanor Spear năm 1952 và được nhắc lại năm 1969. Đóng góp riêng của Tukey là chọn ra bộ số tóm tắt bền vững, tính được nhanh bằng tay và không cần tham số điều chỉnh nào. Ông đưa biểu đồ hộp và râu vào bộ công cụ phân tích dữ liệu khám phá (exploratory data analysis) năm 1970, nhưng phải đến quyển sách in năm 1977 nó mới thật sự phổ biến. Nhờ vậy người dùng có một hình vẽ nhỏ gọn, ít chi tiết hơn biểu đồ tần số nhưng rất tiện để đặt cạnh nhau mà so sánh nhiều nhóm.

Vì sao mang đúng cái tên này? Tên gọi đến thẳng từ hình ảnh: "whisker" trong tiếng Anh là sợi ria của con mèo, và hai đoạn thẳng mảnh chìa ra hai phía chiếc hộp trông đúng như vậy, nên đồ thị được gọi là box-and-whisker plot và tiếng Việt dịch thành biểu đồ hộp và râu. Điều đáng chú ý là phần râu không phải đồ trang trí mà mang đúng nhiệm vụ của nó: hộp chỉ kể chuyện nửa số liệu nằm giữa, còn râu kéo dài ra ngoài hai tứ phân vị (quartile) để cho thấy dữ liệu tản rộng tới đâu. Vì vậy những điểm nằm quá xa, tức giá trị ngoại lai (outlier), được chấm riêng bên ngoài đầu râu thay vì cho râu chạy theo — râu chỉ đo độ biến thiên của phần dữ liệu "bình thường".

Nguồn đối chiếu

Thử nghiệm tương tác

Kéo điểm ngoài cùng qua vạch 1,5·IQR — nhìn đầu râu tụt về điểm kế tiếp

Kéo điểm ngoài cùng qua vạch 1,5·IQR — nhìn đầu râu tụt về điểm kế tiếp

Kéo tham số, thấy khái niệm chuyển động — mở khoá bằng tài khoản 0đ.

Tạo tài khoản miễn phí

Hay hiểu sai

Râu dài không có nghĩa là vùng đó có nhiều dữ liệu hơn.

Râu không phải lúc nào cũng chạm tới giá trị nhỏ nhất và lớn nhất.

Râu không dài đúng bằng 1.5×IQR1.5 \times IQR.

Không thể đọc hình dạng chi tiết hay trung bình từ râu.

Mẹo phòng thi

Trên máy tính cầm tay, hãy chọn đúng biểu tượng biểu đồ hộp có vẽ điểm ngoại lai.

Muốn gọi một điểm là ngoại lai, phải viết ra phép tính hàng rào.

Khi so sánh hai biểu đồ hộp, phải viết câu so sánh trực tiếp chứ không mô tả song song.

Tần suất trong đề AP StatisticsThường xuyên

Ví dụ có lời giải

1Ví dụ 1/2
Một huấn luyện viên ghi lại số phút mà 15 vận động viên chạy bộ nghiệp dư cần để hoàn thành quãng đường 5 km. Sau khi sắp xếp tăng dần, các giá trị là: 12, 14, 15, 17, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 28, 30, 44, 52. Huấn luyện viên muốn vẽ biểu đồ hộp cho bộ dữ liệu này.
  1. aTìm tóm tắt năm số và xác định mọi giá trị ngoại lai theo quy tắc 1,5 × IQR.
  2. bHai râu của biểu đồ hộp được kéo đến đâu? Giải thích vì sao râu trên không kéo đến 52 và cũng không dừng lại ở 44,5.
  3. cSo sánh độ dài hai râu và cho biết chúng gợi ý điều gì về hình dạng phân bố.
1Bước 1: Tìm tóm tắt năm số (five-number summary). Dữ liệu đã sắp xếp và có n=15n = 15 nên trung vị nằm ở vị trí thứ 8, tức M=22M = 22. Nửa dưới gồm bảy giá trị 12, 14, 15, 17, 18, 20, 21 nên Q1=17Q_1 = 17; nửa trên gồm bảy giá trị 24, 25, 26, 28, 30, 44, 52 nên Q3=28Q_3 = 28. Cùng với giá trị nhỏ nhất 12 và lớn nhất 52, ta có tóm tắt năm số là 12, 17, 22, 28, 5212,\ 17,\ 22,\ 28,\ 52.
2Bước 2: Tính khoảng tứ phân vị (interquartile range) và hai hàng rào (fence): IQR=Q3−Q1=28−17=11IQR = Q_3 - Q_1 = 28 - 17 = 11, do đó 1,5×IQR=16,51{,}5 \times IQR = 16{,}5. Hàng rào dưới là Q1−1,5×IQR=17−16,5=0,5Q_1 - 1{,}5 \times IQR = 17 - 16{,}5 = 0{,}5 và hàng rào trên là Q3+1,5×IQR=28+16,5=44,5Q_3 + 1{,}5 \times IQR = 28 + 16{,}5 = 44{,}5. Mọi quan sát nằm ngoài đoạn từ 0,50{,}5 đến 44,544{,}5 đều bị xem là giá trị ngoại lai (outlier).
3Bước 3: Đối chiếu từng giá trị với hai hàng rào. Không có quan sát nào nhỏ hơn 0,50{,}5, nên phía dưới không có gì bất thường. Ở phía trên, 44<44,544 < 44{,}5 nên 44 vẫn là giá trị bình thường, còn 52>44,552 > 44{,}5 nên 52 là giá trị ngoại lai duy nhất và phải được vẽ riêng bằng một dấu chấm.
4Bước 4: Xác định điểm kết thúc của hai râu. Râu luôn được kéo tới quan sát THẬT xa nhất mà chưa bị coi là bất thường, chứ không kéo tới hàng rào. Vì vậy râu dưới đi từ Q1=17Q_1 = 17 xuống giá trị nhỏ nhất là 12, còn râu trên đi từ Q3=28Q_3 = 28 lên tới 44 chứ không tới 52 (vì 52 đã tách ra thành dấu chấm riêng) và cũng không dừng ở 44,544{,}5 (vì 44,544{,}5 chỉ là ngưỡng tính toán, không phải số liệu có thật).
5Bước 5: So sánh độ dài hai râu: râu dưới dài 17−12=517 - 12 = 5 phút, râu trên dài 44−28=1644 - 28 = 16 phút. Râu trên dài hơn râu dưới hơn ba lần, lại còn kèm thêm một giá trị ngoại lai ở xa phía phải, nên phân bố được gợi ý là lệch phải.

Tóm tắt năm số của thời gian chạy là 12, 17, 22, 28, 5212,\ 17,\ 22,\ 28,\ 52 phút, với IQR=11IQR = 11 và 52 phút là giá trị ngoại lai duy nhất. Trên biểu đồ hộp, râu trái kéo từ 17 xuống 12 phút, râu phải kéo từ 28 lên 44 phút, còn quan sát 52 phút được đánh dấu riêng bằng một chấm. Vì râu phải (16 phút) dài hơn hẳn râu trái (5 phút) và còn có một vận động viên chạy rất chậm tách hẳn ra, phân bố thời gian chạy 5 km của nhóm này lệch phải: đa số hoàn thành trong khoảng 12–30 phút, nhưng một vài người kéo dài đuôi về phía thời gian lớn.

2Ví dụ 2/2
Một biểu đồ hộp mô tả lượng nước (đơn vị: lít) mà 200 hộ gia đình dùng trong một ngày. Biểu đồ không có dấu chấm ngoại lai nào và cho các mốc: giá trị nhỏ nhất 2, Q1=15Q_1 = 15, trung vị 19, Q3=23Q_3 = 23 và giá trị lớn nhất 61. Một học sinh nhìn biểu đồ rồi kết luận: "Râu phải dài gần gấp ba râu trái, nên phần bên phải chứa nhiều hộ gia đình hơn hẳn phần bên trái."
  1. aƯớc lượng số hộ gia đình có lượng nước dùng nằm trong khoảng ứng với râu phải.
  2. bNhận xét kết luận của học sinh đó là đúng hay sai, và giải thích.
  3. cTừ hai râu, có thể nói gì và không thể nói gì về hình dạng phân bố?
1Bước 1: Nhắc lại ý nghĩa vị trí của các mốc. Ba tứ phân vị chia dữ liệu đã sắp xếp thành bốn phần xấp xỉ bằng nhau, mỗi phần chứa khoảng 25% số quan sát. Râu phải trải từ Q3Q_3 đến giá trị lớn nhất nên nó ứng với một phần tư trên cùng của dữ liệu, tức khoảng 0,25×200=500{,}25 \times 200 = 50 hộ gia đình dùng từ 23 đến 61 lít.
2Bước 2: Tính độ dài hai râu để thấy điều mà chúng thật sự đo. Râu trái dài 15−2=1315 - 2 = 13 lít, râu phải dài 61−23=3861 - 23 = 38 lít, tỉ số xấp xỉ 38/13≈2,938/13 \approx 2{,}9. Tuy nhiên, con số này đo BỀ RỘNG của khoảng giá trị chứ không đo SỐ quan sát; cả hai râu vẫn cùng chứa khoảng 50 hộ.
3Bước 3: Trả lời phần (b). Kết luận của học sinh sai, vì mỗi râu theo định nghĩa đều ôm xấp xỉ 25% dữ liệu bất kể nó dài hay ngắn. Râu phải dài hơn chỉ cho biết 50 hộ dùng nhiều nước nhất trải rộng trên một khoảng lớn (từ 23 đến 61 lít), còn 50 hộ dùng ít nhất thì chen chúc trong một khoảng hẹp hơn (từ 2 đến 15 lít).
4Bước 4: Trả lời phần (c). Vì râu phải dài hơn râu trái và khoảng cách từ trung vị 19 lên Q3=23Q_3 = 23 bằng khoảng cách từ Q1=15Q_1 = 15 lên trung vị, ta có thể nói phân bố gợi ý lệch phải do đuôi phải kéo dài. Ngược lại, biểu đồ hộp không cho thấy có bao nhiêu đỉnh hay có khoảng trống nào trong dữ liệu, nên không được kết luận phân bố "xấp xỉ chuẩn" hay "một đỉnh"; muốn biết chi tiết đó phải dùng biểu đồ tần số dạng cột.

Khoảng ứng với râu phải chứa khoảng 50 trong số 200 hộ gia đình, đúng bằng số hộ mà râu trái chứa. Do đó kết luận của học sinh sai: chiều dài của râu đo mức trải rộng của các giá trị, không đo số quan sát, nên một râu dài chỉ nói rằng nhóm 25% đó phân tán mạnh. Hai râu chênh lệch rõ (38 lít so với 13 lít) cho phép nói lượng nước dùng hằng ngày của các hộ có xu hướng lệch phải, nhưng chỉ với biểu đồ hộp thì không thể khẳng định gì thêm về số đỉnh hay dáng cụ thể của phân bố.

Bạn nắm chắc chưa?

Quiz câu thật từ ngân hàng đề

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.

Tạo tài khoản miễn phí

Học tiếp từ đây

Bài học chứa thuật ngữ nàyĐồ thị cho các đại lượng mô tảDữ liệu một biến & thu thập dữ liệu · khoá AP Statistics
Bài học chứa thuật ngữ nàyThống kê mô tả cho một biến định lượngDữ liệu một biến & thu thập dữ liệu · khoá AP Statistics
Cần trướcboxplottứ phân vịtóm tắt năm số
Dẫn tớihình dạng (của phân phối)
Liên quangiá trị ngoại lệ
Mục tiêu và lộ trình unit xem miễn phí — làm bài tập và lưu tiến độ cần tài khoản 0đ.

Hay nhầm với

khoảng biến thiên (range)range
Khác nhau ở đâuRâu là đoạn thẳng vẽ từ cạnh hộp tới giá trị cực trị còn nằm trong ngưỡng 1,5×IQR. Khoảng biến thiên là một con số, bằng hiệu giữa giá trị lớn nhất và nhỏ nhất, kể cả ngoại lệ.
Hay nhầm khiKhi đề vẽ boxplot có dấu chấm ngoại lệ, nhiều thí sinh lấy khoảng cách hai đầu râu làm khoảng biến thiên.
khoảng tứ phân vị (interquartile range)interquartile range
Khác nhau ở đâuRâu mô tả phần dữ liệu nằm ngoài hộp, ở hai đuôi của phân phối. Khoảng tứ phân vị đo bề rộng của chính chiếc hộp, tức 50% dữ liệu ở giữa.
Hay nhầm khiCâu hỏi so sánh độ phân tán hai nhóm hay bị trả lời bằng độ dài râu thay vì bằng IQR.

Cùng chủ đề

Nguồn tham khảo

  1. [1]Barron_AP_Stat_2026. tr. 127–129.

Biên soạn bởi DucklingStudy, bản quyền thuộc DucklingStudy. Xuất bản .